- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
8.1. Необходимость асимптотических методов
При построении приближенных решений алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, а также при оценке различных интегралов приходится иметь дело с рядами по степеням параметра или независимой переменной. В разделе “Функциональные ряды и их приложение” рассматриваются решения некоторых дифференциальных уравнений в виде сходящихся степенных рядов.
Среди причин, затрудняющих поиск точного решения физических и инженерных задач, можно указать нелинейность уравнения, наличие переменных коэффициентов, а также нелинейные граничные условия. Для таких задач часто не удается построить решение в виде сходящегося степенного ряда. Обычно в этих случаях используют комбинацию аналитических и численных методов. Из наиболее используемых и мощных аналитических методов можно отметить метод возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям координаты или входящего в уравнение параметра.
К асимптотическим методам обращаются в тех случаях, когда пытаются строить решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда в окрестности нерегулярной особой точки. Может оказаться, что полученный ряд является всюду расходящимся. Дело в том, что при этом выпадает краеугольный результат теории – утверждение, что в окрестности регулярной особой точки сходятся все степенные ряды.
Пример. Построить решение в виде степенного ряда для дифференциального уравнения
, .
Решение. Вычислим первую и вторую производную
и подставим в дифференциальное уравнение. Имеем
.
Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях , получим:
; ;
; ; … ;
,… .
Отсюда получаем: , – произвольно, ,
, , , …, , … .
Таким образом, получили формальное решение в виде ряда
который расходится при всех , кроме точки .
8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
Одним из основных элементов асимптотического анализа является исследование пределов функций при , где . Если предел функции существует, то имеет место одна из альтернатив: при , ; ; , где .
Однако для целей анализа такая классификация слишком груба: существует бесчисленное множество функций, обладающих такими пределами. Для уточнения приведенной классификации каждый из трех указанных классов функций подразделяют в соответствии со скоростью, с которой они стремятся к своим пределам. Поэтому сравнивают скорость убывания или возрастания этих функций с соответствующими характеристиками эталонных функций. Эти функции сравнения называются калибровочными функциями.
Наиболее употребительные из калибровочных функций следующие ( ):
Целые положительные степени параметра ;
Обратные степени этого параметра: ;
Показательные и логарифмические функции: , , , , .
Иногда приходится рассматривать и другие калибровочные функции.
Вместо утверждения о том, что c той же скоростью, что и , говорят что « имеет порядок при » и пишут при .
В общем случае полагают при , если существует такое число , что
. (8.1)
Таким образом, при имеют место соответствия:
, , , ,
, , .
Настоятельно рекомендуем проверить все эти равенства.
Введенное с помощью символа « » математическое понятие порядка, формально отличается от физического понятия величин, так как по определению (1) значение постоянной может быть сколь угодно большой, но конечной. Однако обычно принимается, что соответствующий коэффициент порядка единицы и значение, определяемое символом порядка достаточно близко к фактическому значению физической величины.
Помимо введенного символа порядка для характеристики скорости изменения функции относительно калибровочной функции вводится еще один символ определяемый следующим образом
при , если . (8.2)
Рекомендуется проверить следующие соответствия при :
sin , , , , , , .