- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.5. Индивидуальные задания
Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
;
Пользуясь определением, найти изображения следующих функций:
2. . 3. . 4. . 5.
6. Может ли функция служить изображением некоторого оригинала?
Найти изображение функций:
7. . 8. . 9. . 10. .
11. . 12. ; .
13. Пусть . Найти изображение функции непосредственно и с помощью теоремы подобия.
Пользуясь теоремами линейности и подобия, найти изображения следующих функций:
14. . 15. . 16. .
17. . 18. .
19. .
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
20. . 21. . 22. . 23. . 24. . 25. .
Найти изображения следующих функций:
26. . 27. . 28. .
29. . 30. . 31. .
32. . 33. .
Найти изображения следующих функций:
34. . 35. . 36. . 37. . 38. . 39. .
Найти изображение функций:
40. . 41. . 42. .
Найти изображения следующих функций, заданных графически:
4 3. f(t)
1
0 1 t
f(t)
44.
1
0 1 2 t
1
4 5. f(t)
1
0 1 2 t
46. f(t)
1
0 a t
4 7. f(t)
1
0 a t
48. f(t)
a
0 a t
49. f(t)
b-a
0 a b t
50.
f(t)
4
3
2
t
2
4
5 1. f(t)
1
0 a 2a t
1
52. f(t)
2
1
0 a 2a 3a t
53. f(t)
1
0 a 2a t
1
54. f(t)
1
0 a 2a t
1
5 5. f(t)
1
0 a 2a 3a 4a t
1
5 6. f(t)
b
0 a 2a t
b
57. Пусть функция , периодическая с периодом Т, есть функция оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу дается формулой и определено в полуплоскости
Найти изображение следующих периодических функций:
58. f(t)
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
59. f(t)
1
0 1 2 3 4 5 t
60. . 61. .
62. f(t)
1
2 3 t
.
Найти изображение следующих функций:
63. . 64. .
Найти оригиналы по заданному изображению:
65. . 66. .
67. . 68. .
69. . 70. .
71. . 72. .
73. .
74. .
75. . 76. .
77. . 78. .
79. .
80. . 81. .
82. . 83. .
84. . 85. .
86. . 87. .
88. . 89. .
Решить следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:
90. . 91. .
92. . 93. .
94. . 95. .
96. .
97. .
98. .
99. .
100. .
101. .
102. .
103. .
104. .
105. .
106. .
107. .
108. .
109. .
110. .
111. .
112. .
113. .
114. .
115. .
116. .
117. .
118. .
119. .
120. .
121. .
122. .
123. .
124. .
125. .
126. .
127. .
128. .
129. .
130. .
131. .
132. .
133. .
134. .
135. .
136. .
137. .
138. .
139. .
140. .
141. .
142. .
143. .
144. .
145. .
146. .
147. .
148. .
149.
.
150. .
151. .
152. .
153. .
154. .
155. .
C помощью формулы Дюамеля найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
156. .
157. .
158. .
159. .
160. .
161. .
162. .
163. .
164. .
165. .
Решить системы уравнений:
166. .
167. .
168. .
169. .
170. .
171.
.
172. .
173. .
174. .
175. .
176. .
177. .
178. .