- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
. (2.5)
. (2.6)
Если правая часть уравнения (2.5) является оригиналом, то и решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (2.6), также является оригиналом.
На основании теоремы о дифференцировании оригинала построим изображающее уравнение:
(2.7)
…+ ,
где .
Определив из алгебраического уравнения (2.7) неизвестное изображение , найдем соответствующий ему оригинал – решение исходного дифференциального уравнения (2.5), удовлетворяющее начальным условиям (2.6).
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
Решение. Пусть . По теореме 6 предыдущего раздела и таблице изображений получим изображающее уравнение
Подставляя начальные данные, имеем
Отсюда находим
.
Разложим дробь на сумму простейших дробей
и получим систему уравнений для определения коэффициентов и
Отсюда находим , Таким образом, имеем
.
По таблице изображений находим решение уравнения в пространстве оригиналов
Заметим, что для получения оригинала из таблицы изображений в рассмотренном примере, мы применяли прием разложения правильной дроби на сумму простейших дробей совершенно так же, как это делается в интегральном исчислении при интегрировании дробно-рациональных функций. Рассмотренный пример показывает, как находить частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Отыскание решения уравнения (2.5) по его изображению не лишает возможности находить и общее решение. Для этого достаточно считать начальные значения функции и ее производных в (2.6) произвольными постоянными.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. По таблице изображений находим
.
Полагая , имеем
где числа и играют роль произвольных постоянных.
Изображающее уравнение имеет вид
.
Отсюда
.
Преобразуем первое слагаемое для и найдем по таблице соответствующий ему оригинал
Для второго слагаемого имеем
Для отыскания оригинала последнего слагаемого разложим его на простейшие дроби
.
Система уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид
Откуда находим , , . Следовательно,
Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения
.
Положим , , получим
Если требуется проинтегрировать уравнение (2.5) с нулевыми начальными условиями при
, (2.8)
то удобно поступить следующим образом:
1) решить операционным методом вспомогательное уравнение
(2.9)
с нулевыми начальными условиями (2.8) для функции ;
2) воспользоваться для получения решения уравнения (2.5) при условиях (2.8) формулой Дюамеля
. (2.10)
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
, .
Решение. Составляем вспомогательное уравнение (2.9)
, .
И решаем его операционным методом:
, .
Разлагаем на простейшие дроби
.
Получаем систему уравнений, определяющую коэффициенты разложения
Подставим найденные коэффициенты в выражение и перейдем к оригиналам
,
.
Решение заданного уравнения найдем по формуле Дюамеля (2.10) с учетом того, что . Имеем
,
.
Пример 4. Рассмотрим включение синусоидальной ЭДС в контур, состоящий из индуктивности и сопротивления (рис.2).
L
Д
r
.
Рис.2 Приравняв сумму напряжений в цепи электродвижущей силе получаем дифференциальное уравнение для тока в цепи
, .
Решение уравнения. Построим уравнение для изображений
.
из которого находим изображение тока в цепи
.
Для нахождения оригинала разложим дробно-рациональную функцию в правой части последнего равенства на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Имеем,
.
Система уравнений, определяющая числа A, B, C имеет вид
Решая эту систему уравнений, получим коэффициенты разложения
, , .
Изображение тока теперь принимает вид
.
Перейдем по таблице изображений к оригиналам. Получим
.