- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
Если функция кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке, абсолютно интегрируема на всей оси, то имеет место формула (1.18). Учитывая формулу
и введя обозначения
(1.19)
формулу (1.18) можно записать в виде
= . (1.20)
Равенство (1.20) аналогично разложению функции в тригонометрический ряд, а выражения (1.19) аналогичны формулам (1.9) для коэффициентов Фурье.
Если функция – четная, то формула
= , A(λ) = ,
называется косинус-преобразование Фурье.
Если функция – нечетная, то
= , B(λ) = ,
называется синус-преобразование Фурье.
1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
В комплексной форме интеграл Фурье имеет вид
(1.21)
Если перезаписать выражение (1.21) следующим образом
и обозначить
, (1.22)
то формула (1.21) примет вид
(1.23)
Функция , определенная формулой (1.22), называется образом Фурье или спектральной характеристикой функции . Переход от к называется преобразованием Фурье.
Восстановление ”оригинала” по образу по формуле (1.23) называется обратным преобразованием Фурье.
Если определена только на полуоси 0 х , то ее можно продолжить на полуоси - х 0 четно или нечетно. Тогда для получим два разных представления:
(1.24)
. (1.25)
По определению положим
(1.26)
Тогда согласно (1.24) имеем
(1.27)
Функция называется косинус - образом Фурье функции , заданной на полуоси 0 х , переход от к - косинус - преобразованием Фурье. Восстановление функции по с помощью (1.27) называется обратным косинус - преобразованием Фурье.
Аналогично, вместо (1.25) имеем
(1.28)
(1.29)
где называется синус - образом Фурье функции , заданной на полуоси 0 х , переход от к по формуле (1.28) называется синус - преобразованием Фурье. Восстановление функции по с помощью (1.29) называется обратным синус - преобразованием Фурье.
Задачи для самостоятельного решения
Представить интегралом Фурье функции:
при 0 < x < продолжив ее
а) четным образом;
б) нечетным образом.
Найти преобразование Фурье функции
3. Найти синус- и косинус- преобразования Фурье функции
Литература к п.1.4-1.5. 1, гл.17, §13-14], 2, гл.4. §4.12- 4.14], [4, гл.3, §9].
Преобразование Лапласа и его приложения
Понятие преобразования Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа
Функцией-оригиналом будем называть любую действительную функцию действительного переменного t , удовлетворяющую следующим условиям:
1) на любом конечном отрезке положительной полуоси функция удовлетворяет условиям:
ограничена; либо непрерывна, либо имеет конечное число точек разрыва первого рода; имеет конечное число экстремумов;
2) функция =0, если ;
3) функция возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные , что для всех t
.
Число называется показателем роста функции .
Изображением функции (по Лапласу) называют функцию комплексного переменного , определяемую соотношением
(2.1)
Интеграл (2.1) является несобственным. Область его сходимости является совокупностью тех комплексных чисел , для которых . Тот факт, что функция имеет своим изображением будем записывать символом ÷ .
Простейшей функцией –оригиналом является единичная функция Хевисайда
(2.2)
Умножение функции на придает ей нулевые значения при . В дальнейшем изложении будем предполагать, что все рассматриваемые функции умножены на единичную функцию Хевисайда. Так, например, вместо функции будем писать и так далее.
Пример 1. Найти изображение функции .
Решение. Функция является функцией-оригиналом, так как удовлетворяет условиям, оговоренным в определении. Для нахождения еe изображения нужно вычислить несобственный интеграл
Представим функцию по формуле Эйлера
и подставим в вычисляемый интеграл
= .
Учитывая, что
если , имеем
Результаты вычисления изображений функций с помощью интеграла Лапласа (2.1) составляют таблицу изображений, которая приводится в учебниках (см.[I], гл.XIX, или [2], гл.7).