Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
.
Таким
образом,
Второй
способ.
Вычислим
:
.
Теперь по теореме о дифференцировании сложной функции
Пример
7.
Пусть
функция
определена на интервале
.
Будем говорить, что
является гладкой в точке
,
если выполнено равенство
,
а) доказать, что если имеет производную в точке , то является гладкой в этой точке;
б)
доказать, что если непрерывная функция
является гладкой во всех точках из
,
то найдется
,
в которой
имеет производную;
в) построить функцию, гладкую во всех точках интервала и не дифференцируемую в некоторой точке этого интервала.
Решение. а) пусть существует конечный предел
.
Тогда
;
б)
возьмем некоторую точку
и обозначим
для
.
Тогда
для всех
.
В противном случае найдутся точки
такие, что
и
.
Не ограничивая общности, будем считать,
что
.
Для каждого
найдем число
такое, что
,
что можно сделать в силу непрерывности
функции
и теоремы Больцано-Коши о промежуточном
значении. Рассмотрим функцию
,
непрерывную на
.
Рассмотрим равенство
.
Так
как
и
,
то
.
Аналогично
.
Таким образом, непрерывная функция
не является постоянной на отрезке
и принимает одинаковые значения на его
концах. Следовательно, по теореме
Вейерштрасса, найдется точка
,
для которой
.
Тогда для любого
такого, что
,
имеем
и
Так
как
и
принимают значения одного знака и их
сумма стремится к нулю при
,
то
.
Следовательно,
и
.
в) рассмотрим функцию
которая
является гладкой во всех точках
и имеет разрыв первого рода в точке
.
Следовательно,
не имеет производной в этой точке.
Задачи для самостоятельного решения
1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
2. Пусть
где
функция
имеет левостороннюю производную в точке
.
При каком выборе коэффициентов
функция
будет непрерывной (дифференцируемой)
в точке
?
3. Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция периодическая с тем же периодом.
4. Доказать, что если функция бесконечно дифференцируема в каждой точке , то функция
также является бесконечно дифференцируемой.
5. Используя определение, вычислить производные следующих функций:
а)
б)
в)
6. Пусть
Доказать, что бесконечно дифференцируема на .
7.
Пусть
.
Доказать, что
.
8.
Пусть функция
непрерывна на
и для любого
функция
дифференцируема на
.
Доказать, что
дифференцируема на
.
Указание. Воспользоваться доказательством из примера 7.
9.
Доказать,
что если для функции
существует вторая производная
,
то
.
10. Рассмотрим функцию f вида
,
определенную для тех значений х, для которых это выражение имеет смысл.
1. Указать, для каких х функция f определена, непрерывна и дифференцируема, и вычислить производную функции в этих точках.
2. Показать, что (n-1)-я производная есть рациональная дробь:
и
что числитель
есть многочлен
степени n.
11. Если функция f определена на интервале, содержащем внутри точку , и если отношение
имеет предел, когда h
стремится к нулю, то этот предел называется
симметрической производной функции f
в точке
и обозначается
.
Показать, что если функция имеет в точке отдельно правую и левую производные, то она имеет в этой точке и симметрическую производную.
12. Показать,
что функция f со
значениями
и
,
если
,
не имеет в нуле ни правой, ни левой
производной, но имеет симметрическую
производную.
13. Показать, что если функция возрастает и имеет симметрическую производную, то эта производная положительна.
14.Привести
пример функции, непрерывной на
и дифференцируемой всюду, кроме точек
.
15.
Доказать,
что функция
не дифференцируема в точке
.