- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
1.2. Определители. Ранг матрицы
1.2.1. Вычисление определителей
1. Метод приведения к треугольному виду
Этот метод основан на применении следующих двух теорем.
Теорема 1. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (одному из его столбцов) прибавить соответственные элементы другой строки (другого столбца), умноженные на некоторое число .
Теорема 2. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Упражнение 1. Вычислить определитель
.
Решение. Вычитаем первую строку из всех остальных и получаем:
2. Метод рекуррентных соотношений
Суть метода состоит в том, что исходный определитель разложением по строке или столбцу выражается через определители более низкого порядка, имеющие тот же вид.
Упражнение 2. Вычислить определитель
.
Решение. Обозначим
Для любого разложение определителя по последнему столбцу приводит к рекуррентному соотношению:
.
Непосредственные вычисления показывают, что выполнены равенства Предположим, что уже доказаны равенства для Разложим определитель по последнему столбцу и получим с учетом сделанного предположения, что
Таким образом, для любого верно равенство .
3. Метод разложения определителя на линейные множители
Метод основан на возможности представления произвольного многочлена степени n в виде , где числа являются корнями многочлена .
Предположим, что требуется вычислить определитель , зависящий от параметра , причем известно, что является многочленом степени от переменной . Если удается каким-либо образом установить значения , при которых , то Чтобы найти число аn , нужно любое число , отличное от всех , подставить вместо х в исходный определитель и вычислить его. Затем an находится из равенства
Упражнение 3. Вычислить определитель Вандермонда n – го порядка:
Решение. Разложив определитель по последней строке, получим представление:
где – алгебраическое дополнение элемента является определителем Вандермонда порядка , причем определители не зависят от . Следовательно, определитель является многочленом степени переменной : . Заметим, что если , то i-я строка совпадает с n-й строкой. Следовательно, для . Таким образом,
Аналогичным образом получаем разложения для :
………………………………………………………
Окончательно получаем
то есть – произведение всех множителей вида , где .
4. Применение теоремы Лапласа
Определение 1. Пусть минор расположен на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами . Дополнительным минором минора называется минор, получающийся из вычеркиванием строк и столбцов . Алгебраическим дополнением минора называется число :
Теорема 3. Пусть в определителе порядка произвольно выбраны строк (или столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю .
Эта теорема обобщает правило разложения определителя по строке (столбцу).
Упражнение 4. Вычислить определитель
.
Решение. Зафиксируем 2-й и 3-й столбцы и в соответствии с теоремой Лапласа получим:
5. Использование теоремы о произведении определителей
Теорема 4. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей: .
Эта теорема может быть применена различным образом в зависимости от того, вычисляем мы определитель произведения или определитель одного из множителей.
Упражнение 5. Вычислить определитель
.
Решение. Применим теорему 4, взяв и , и воспользуемся свойством :
Следовательно, .
Заметим, что использование равенства значительно менее эффективно для решения этой задачи.
Упражнение 6. Вычислить определитель
.
Решение. Из равенства
следует, что , если , и , если .