- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Задачи для самостоятельного решения
1. а) , найти , б) , найти .
2. Показать, что , где , ,
.
3. Доказать, что .
4. Найти производную второго порядка от функции, заданной неявно: , .
5. Вывести формулу для второй производной функции, обратной к заданной функции .
Заключение
Задачи, предлагаемые в пособии, носят нестандартный характер и требуют от студента не только прочных знаний, но и творческого подхода. Большинство задач иллюстрируют в упрощенной форме ту или иную глубокую математическую идею.
Данное пособие будет полезно широкому кругу читателей, интересующихся строгими математическими доказательствами и неожиданными идеями, и в первую очередь студентам различных вузов, аспирантам, преподавателям, всем интересующимся математикой.
Пособие может быть использовано как преподавателями для работы в математических кружках, так и студентами для подготовки к олимпиадам.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1. Линейная алгебра
1.2. Определители. Ранг матрицы
1. а) ; б) ; в) .
2. а) ; б) ; в) ,
е)
4. а) ; б) ;в) .
5. а) ; б) ;
в) .
6. а) 0, если n > 2; , если ;
б) ; в) 0, если n > 2; , если .
10. а) 24; б) .
1.3. Обратная матрица
1.а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2. .
3. .
4. Указание. Доказать, что каждое последующее равенство следует из предыдущего и первое следует из последнего.
5. Указание. Показать, что можно выбрать таким образом, что матрица содержит один нулевой столбец.
6. .
7. Указание. Сравнить с формулами . ; , если .
8. Указание. Использовать результаты задачи 7.
9. а) поменяются местами i – й и j-й столбцы; б) i – й столбец умножится на 1/с; в) из j- го столбца вычтется i – й, умноженный на с. Аналогичным образом преобразуются строки матрицы .
10. Указание. Использовать результат задачи 7.
1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы.
След матрицы.
а) ; б) ; в) ; г) .
2. а) , б) . 4. и ;
. 7. . 8. Указание. Вычислить . . 9. Указание. Вычислить . 10. . 11. Указание. Воспользоваться формулой бинома Ньютона. 12.
15. .
2. Введение в анализ
2.2. Пределы последовательностей
1. а) 0; б) 0; в) ; г) 1; д) ; е) 3; ж) ; з) 2.
3. а) 0; б) ; в) ; г) .
4. а) 1; б) ; в) 0; г) 0; д) .
5. Равен 1, если ; принадлежит [-1; 1] или не существует, если а = 0.
6. Указание: использовать неравенство .
7. ; .
8. , , , , , , … .
2.3. Предел функции. Непрерывность
1. а) ; б) ; в) ; г) .
2.
5. а) 0; б) 0,5.
7. , если x – рационально; , если x – иррационально.
3. Дифференциальное исчисление
3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
2. ; .
3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов
дифференциального исчисления
1. б) ; в) 0; г) ; д) ; е) 0; ж) 6; з) 8.
2. б) ; . 4. а) ; б) .
3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
6. а) при − выпуклость вверх, при – выпуклость вниз, − точки перегиба, ; б) при − выпуклость вверх, при − выпуклость вниз, − точки перегиба;
в) при − выпуклость вниз, при − выпуклость вверх, − точки перегиба, . 7. .
3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. .
2. .
10. а) один корень; б) два корня; в) два корня, если , корней нет, если , где - положительный корень уравнения .
3.6. Производные высших порядков
1. а) .
Указание. Воспользоваться равенством ;
б) .
4. .
5.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лефор, Г. Алгебра и анализ./ Г. Лефор − М.: Изд-во Наука. 1975. − 462 с.
2.Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу.
/ И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий − М.: Изд-во МГУ 1988. − 300 с.
3. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник / Г.М. Фихтенгольц. − М.: Физматлит, 2003. Т.1. − 80 с.
4. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа: учебник / Л.Д. Кудрявцев. −М.: Физматлит, 2003. Т. 1. − 400 с.
5. Никольский, С.М. Курс математического анализа: учебник / С.М. Никольский. − М.: Наука, 1990. − Т.1. − 528 с.
6. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу /
Б.П.Демидович − М.: Наука, 2001. − 545 с.
О Г Л А В Л Е Н И Е
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3
1. ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА………………………………………………............... 1.1. Основные классы квадратных матриц………………………….............. 1.2. Определители. Ранг матрицы…………………………………………… 1.2.1. Вычисление определителей………………………………………. 1.2.2. Вычисление ранга матриц………………………………………… 1.3. Обратная матрица……………………………………………………….. 1.4. Жорданова нормальная форма...………………………………………… 1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. …………… След матрицы…………………………………………………………….. 1.6. Многочлены……………………………………………………………… 2. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ……………………………………………………… 2.1. Метод математической индукции………………………………………. 2.2. Пределы последовательностей………………………………………….. 2.3. Предел функции. Непрерывность……………………………….............. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ…………………………............... 3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению…………………………………………………………… 3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления……………………………………….. 3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба ……………………… 3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления………….............. 3.5. Тождества и неравенства………………………………………………… 3.6. Производные высших порядков…………………………………………. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………… ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ………………………………………………………… БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……….…………………………...............
|
4 5 8 8 12 18 27
37 44 48 48 51 66 76
76
84 88 95 103 109 112 113 118 |
Учебное издание
Барсуков Андрей Иванович
Глазкова Мария Юрьевна
Минаков Виктор Иванович
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ