- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Задачи для самостоятельного решения
1. Используя теорему Жордана, вычислить:
.
2. Используя метод математической индукции, вычислить:
3. Используя формулу бинома Ньютона, вычислить:
.
4. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен:
а) нулевой матрице; б) единичной матрице.
5. Пусть Вычислить .
6. Вычислить
7. Найти
8. Найти
9. Доказать, что равенство не выполняется ни для каких матриц .
10. Вычислить
11. Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотентных матриц является нильпотентной.
12. Привести пример двух нильпотентных матриц, сумма которых не является нильпотентной.
13. Доказать, что:
если А – кососимметрическая матрица, то ;
если А – косоэрмитова матрица, то , где и
i– мнимая единица;
если А – симметрическая (эрмитова) матрица, то ;
если А – эрмитова матрица и то ;
5) если А – положительно определенная матрица, то .
14. Используя лемму, последовательно доказать следующие утверждения:
1) , если ;
2) , где собственные значения матрицы А;
3) если А – нильпотентная матрица, то ;
если для всех , то А – нильпотентная матрица;
если для некоторой матрицы А, то В является нильпотентной матрицей.
15. Предположим, что квадратная матрица А второго порядка
комплексными членами имеет двойное собственное значение . Показать, что найдется матрица В, подобная матрице А (т. е. ), равная одной из двух матриц , . Вычислить .
1.6. Многочлены
Определение 1. Многочленом (или полиномом) степени n ( ) от переменной x называется выражение вида
Теорема 1. Любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде
Определение 2. Числа называются корнями многочлена , число – кратностью корня . Если = 1, то называется простым корнем, если >1, то – кратным корнем (кратности ).
Утверждение 1. Показать, что является корнем многочлена кратности r тогда и только тогда, когда
.
Теорема 2. Любой многочлен с вещественными коэффициентами может быть представлен в одном из следующих видов:
Теорема 3. Пусть и – два многочлена и . Тогда найдутся многочлены и такие, что
Многочлен называется остатком от деления на . Если , то говорят, что делится на (без остатка).
Замечание. Многочлен делится на тогда и только тогда, когда каждый корень многочлена кратности r является корнем кратности .
Упражнение 1. Найти значения а и b, при которых многочлен делится на .
Решение. С учетом сформулированного выше замечания и утверждения 1 достаточно показать, что . Таким образом, получаем систему уравнений:
решая которую находим
Упражнение 2. Пусть p и q – различные многочлены, такие что . Доказать, что делится на .
Решение. Приведем решение для случая, когда многочлен не имеет корней кратности больше чем два, оставив читателю рассмотрение общего случая.
А. Пусть a – простой корень многочлена . Тогда и .
Б. Пусть a – корень многочлена кратности два. Тогда , и, как было доказано в А, . Отсюда
.
Из А, Б и утверждения 1 следует, что делится на .
Определение 3. Результантом двух многочленов
,
называется определитель
.
Теорема 4. Для того, чтобы многочлены имели общий корень, необходимо и достаточно, чтобы .
В случае результант называется дискриминантом многочлена . Если , то , где D – «школьный» дискриминант квадратного трехчлена , так как
.
Упражнение 3. Найти все значения , при которых многочлены
имеют общий корень.
Решение. Найдем значения параметра , при которых результант многочленов p и q равен 0.
Решая получившееся уравнение, находим , .