- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
Если в потенциал и в уравнения связей (60) не входит время , то система называется автономной. В этом случае не входит также и в правые части (61) и в подынтегральное выражение функционала. Тогда представляет собой квадратную форму относительно и функция Гамильтона (49) имеет особенно простой смысл:
, т.е. - есть полная энергия системы, так как в автономном случае функция под знаком интеграла (62) не зависит от , то мы получаем первый интеграл:
Т.е. полная энергия системы сохраняет постоянное значение (закон сохранения энергии).
При этих обстоятельствах, если функционал исследовать в классе линий, на которых полная энергия сохраняет своё значение, имеем
; ,
и принцип Гамильтона принимает форму принципа наименьшего действия Лагранжа:
для движения рассматриваемой системы при заданном значении полной энергии h имеет стационарное значение функция (действие по Лагранжу) , (56)
т.е. ; .
Так как
то принципу наименьшего действия можно придать форму Якоби.
в которой при помощи закона сохранения энергии исключается время.
6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
Принцип Гамильтона имеет ту особенность, что он формулируется не в терминах координат, а в терминах кинетической и потенциальной энергии системы. Это позволяет с помощью предельного перехода распространить принцип на сплошные среды, а также на физические поля, например, электромагнитные.
П усть гибкая материальная нить длины l c линейной плотностью =(x) закреплена в точках х=0 и х=l. Предполагается, что струна не сопротивляется изгибу, ее натяжение T0 в процессе колебаний не изменяется (малая амплитуда колебаний) и что каждая точка х струны в процессе колебаний смещается перпендикулярно оси х. Колебания струны происходят в плос-кости Охy. Обозначим ор-динату точки х в момент времени t через U(x,t)
(рис. 24).
1. В начальный момент времени форма U и скорость струны известны: Работа, совершаемая при деформировании струны равна произведению натяжения струны. То на ее удлинение. Она равна (57)
2. Здесь интеграл, стоящий в скобках дает длину деформированной струны, а все выражение – удлинение струны. Разложим радикал в биноминальный ряд, пренебрегая в силу малости |х| членами, содержащими в степени выше второй
≈1+ .
Тогда
и получаем для потенциальной энергии струны выражение
Если на струну действует внешняя сила F(x,t), рассчитан-ная на единицу массы, то к потенциальной энергии следует добавить член . Следовательно, потенциальная энергия струны равна U= Кинетическая энергия струны равна , где - известная плотность струны. Для функции Лагранжа получаем выражение или .
Действие выражается двойным интегралом
.
Так как действие должно иметь стационарное значение I=0, то должно удовлетворяться уравнение Эйлера
или .
Если струна однородна, то (х)=0. Обозначив , получаем
(*)
Это – уравнение вынужденных колебаний струны. Если внеш-няя сила отсутствует F=0, то получаем уравнение свободных колебаний струны
. (**)
Мы приходим к краевой задаче:
Найти решение уравнения (*) или (**) при начальных усло-виях
и краевых условиях
U(c,t)=0, U(l,t)=0. (58)