- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
Рассмотрим функционал вида с граничными условиями
Применяя необходимое условие экстремума (7) и рассуждая, как при выводе уравнения (16), получим уравнение Эйлера
. (17)
При этом слагаемое надо интегрировать по частям один раз, а слагаемое - два раза. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка. Четырех граничных условий как раз достаточно, чтобы получить частное решение (17),реализующее экстремум.
Функционалы с производными порядка до k>2 включительно рассматриваются аналогично. Уравнение Эйлера для такого функционала имеет порядок 2k. Иногда это уравнение называют уравнением Эйлера-Пуассона.
Пример8. Найти экстремаль функционала при граничных условиях .
Решение. Так как в данном случае , то уравнение Эйлера (17) имеет вид или . Его общим решением будет многочлен . Используя граничные условия, получим . Таким образом, экстремум может достигаться лишь на прямой y=x.
Пример9. Найти экстремаль функционала
при граничных условиях
.
Решение. Здесь . Поэтому уравнение Эйлера (1) в данном случае имеет вид или . Решением его, используя характеристичекое уравнение.
. Общее решение для этих корней имеет вид . Воспользуемся граничными условиями .
Сложим все уравнения. Получаем
. Теперь второе уравнение умножим на и сложим с третьим. Имеем
или . Отсюда следует, что , т.е. . Значит, и а .
Таким образом, экстремум может достигаться лишь на кривой .
2.7. Функционалы от нескольких функций
Функционал может зависеть не от одной, а от нескольких функций одной переменной. Это встречается, например в задачах на экстремум, где искомой является не плоская, а пространственная линия. Пусть функционал
зависит от двух функций и , заданных при . Эти функции между собой не связаны – одну из них можно фиксировать, а другую произвольно варьировать. Фиксируя и варьируя мы получаем частную , аналогичную частному дифференциалу:
.(18)
Аналогично получается частная вариация по
(19)
Если заданы простейшие граничные условия
то для функций и , реализующих экстремум, обе частные вариации должны равняться нулю , т.к. при этом функционал превращается в функционал, зависящий лишь от одной варьируемой функции или , то по аналогии с п.2.5.2 получим систему уравнений Эйлера
, ( )
Общее решение этой системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка содержит четыре произвольные постоянные, которые определяются из четырёх условий.
Аналогично рассматривается функционалы, зависящие от большего числа функций, а также функционалы, зависящие от нескольких функций и выражающееся через производные более высоких порядков.
Пример 10. Найти экстремали функционала.
Решение. Здесь и приходим к уравнению . Решаем его с помощью характеристического уравнения (см. пример 9): .
Используя граничные условия, получаем систему.
Сложим первое и третье и второе и четвёртое уравнение. Получаем:
Из второго уравнения выведем четвёртое:
Следовательно, y=sinx; z=-sinx.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти экстремали функционала
.
2. Исследовать на экстремум функционал
.
3. Исследовать на экстремум функционал
.
4. Найти экстремали функционала
.
5. Найти экстремали функционала
.
6. Найти экстремали функционала
.
7. Найти экстремали функционала
.
8. Найти экстремали функционала
.
9. Найти экстремали функционала
.
10. Найти экстремали функционала
.
11. Найти экстремали функционала
12. .
13. Найти экстремали функционала
.
14. Найти экстремали функционала
.
15. Найти экстремали функционала
.
16. Найти экстремали функционала
.
17. Найти экстремали функционала
.
18. Найти экстремали функционала
.
19. Найти экстремали функционала
.