- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
Ответы и указания
1. Экстремалями являются окружности .
2. Интервал не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача лишена смысла.
3. В классе непрерывных функций экстремум не достигается.
4. Экстремалями являются гиперболы .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. , , откуда z легко находится.
.
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18.
3. Условные экстремумы
3.1 Условный экстремум с интегральными связями
Вернёмся к функционалу и предположим, что функция y(x) берется не произвольной, а должна помимо граничных условий , удовлетворят дополнительному условию вида
(20)
(g-заданное число).
Тогда и вариация должна удовлетворять дополнительному условию, полученному линеаризацией (20):
.
Пусть функция реализует экстремум рассматриваемого функционала при заданных граничных условиях и связи (20). Тогда можно поступить следующим образом. Разобьём отрезок [a, b] на большое число равных частей длины , обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, а производную на разделённую разность. Приходим к следующей задаче на условный экстремум: найти экстремум величины
при заданных значениях и при условии
.
Таким образом, мы приходим к задаче на уловный экстремум с функциями конечного числа переменных . Согласно теории такого экстремума, следует написать условия безусловного экстремума для функции .
Возвращаясь к интегралам, получаем, что для отыскания функции , реализующей условный экстремум, следует написать уравнение Эйлера для функции
(21)
Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные и параметр , которые находятся из двух граничных условий и уравнения связи (20). Параметр (множитель Лагранжа), как показано в математическом анализе, равен .
Если имеется несколько условий вида (20)
,
то вместо (21) надо воспользоваться функцией
.
Пример11. Максимизировать функционал при граничных условиях и условии .
Решение. Согласно сказанному выше, нужно решить уравнение Эйлера для функции . Т.к. в неё не входит явно х, то можно воспользоваться первым интегралом (16’) . Имеем
Найдём из этого уравнения :
Отсюда
Разделяем переменные и интегрируем:
Получаем уравнение окружностей. Постоянные и определяются из граничных условий и заданной связью, т.е. из всех дуг окружностей надо выбрать ту, которая имеет заданную длину L.
Вариационные задачи с интегральными связями широко распространены. В ряде случаев требуется распорядиться определёнными ресурсами, чтобы получить максимальную выгоду. Если при этом возможная линия определяется произвольной функцией, то для её отыскания получается вариационная задача, в которой задание ресурсов, определяют интегральные связи.
3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
Для определённости рассмотрим функционал с тремя искомыми функциями .
(22)
Пусть на них наложена конечная (голономная) связь
, (23)
где h(x) – заданная функция. Тогда для вариаций этих функций имеем очевидное соотношение
.
Пусть надо решить задачу об экстремуме функционала (22) при конечной связи (23) и граничных условиях
,
удовлетворяющих уравнению связи, т.е.
. Это – условия согласования граничных условий со связью.
Далее можно рассуждать, как в п. 3.1, но тогда вместо (20’) появятся соотношения
(23’)
В сему правила отыскания условного экстремума надо для каждой левой части (23’) взять свой множитель Лагранжа, т.е. искать безусловный экстремум для функции
.
Возвращаемся к интегралам. Получается, что для отыскания функций , реализующих условный экстремум, следует написать систему уравнений для функции
с фиксированной (т.е. не варьируемой) но неизвестной заранее функций (функциональный множитель Лагранжа). Уравнения Эйлера вместе с уравнением связи (23) образуют систему из четырёх уравнений с четырьмя искомыми функциями . Произвольные постоянные, которые появятся при её интегрировании, определяются граничными условиями.
В качестве примера рассмотрим задачу С.А.Чаплыгина.
Пример12. Найти максимальную площадь, облетаемую самолётом за заданное время T при постоянном ветре.
Решение. Обозначим через v скорость ветра и выберем ось ОУ в направлении этой скорости (рис. 11). Через V обозначим скорость самолёта относительно воздуха. Тогда должно выполнятся соотношение
(
где точкой обозначена производная по времени.
Выражение для площади, ограниченной замкнутым контуром
имеет вид (в)
Получилась задача о максимизации интеграла (в) при дифференциальной связи (а). Согласно доказанному нужно составить систему уравнений Эйлера для функции .
Для этого воспользуемся уравнениями (19’), заменив в них
на x(t) , на y(t) и x на t :
.
Интегрируя по t, получаем первые интегралы:
или
Путём параллельного переноса осей координат всегда можно добиться чтобы : . Исключим r(t)
из этой системы, получим
Умножим обе части равенства на dt , получим
т.к. и
Подставим это значение dt в (а), получаем
Это – дифференциальное уравнение, связывающее только величины x и y. Оно является однородным относительно x и y.
Его можно решить подстановкой , но проще решить, переходя к полярным координатам . Подставляя в (с) , извлекая предварительно квадратный корень из обеих частей, получаем
.
Т.к. и , то
Обозначив , можно записать
Потенцируя, получаем По смыслу задачи . Поэтому данное уравнение определяет семейство Эллипсов с одинаковым эксцентриситетом , большая ось которых перпендикулярна направлению ветра.
Аналогичным образом рассматриваются дифференциальные (неголономные) связи вида .
Здесь также к функциям F надо добавить – r(x)H. Отличие будет в том, что в систему уравнений Эйлера теперь войдёт не только но . Задача на экстремум функционала с конечными или дифференциальными связями называется также задачей Лагранжа.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти экстремали изопериметрической задачи.
при условии ; y(0)=0; y(1)=0.
2. Найти геодезические линии круглого цилиндра r=R.
Указание: решение удобно искать в цилиндрических координатах r,,z.
3. Найти экстремали изопериметрической задачи при условии ( a=const)
4. Написать дифференциальное уравнение экстремалей изопериметрической задачи об экстремуме функционала
при условии ;y(0)=0;y(x1)=0.
. Ответы
1. где - целое .
2. ;
3. где определяются из граничных условий и из изопериметрического условия .
4. .
Тривиальное решение не удовлетворяет изопериметрическому условию . Нетривиальные решения существуют лишь при некоторых значениях называемых собственными значениями. Следовательно, должно быть собственным значением. Одна произвольная постоянная общего решения уравнения Эйлера определяется из условия , другая - из изопериметрического условия.