- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
Принцип Гамильтона в соответственном видоизменении можно применять к широкому классу физических колебаний. В его основе всегда лежит функция Лагранжа, а для полей – плотность функции Лагранжа. При этом составление функции Лагранжа не всегда так просто, как в задачах механики, поскольку для других типов полей часто трудно бывает отчетливо отделить кинетическую энергию от потенциальной. Например, энергия заряда, движущегося в магнитном поле, имеет черты как кинетической энергии (зависит от скорости движения), так и потенциальной (зависит от поля). Поэтому иногда приходится исходить в простейших задачах из уравнений движения, подгонять их под вид уравнений Эйлера, а затем, сравнивая несколько простейших задач, пытаться определить функцию Лагранжа, которую можно было распространить и на более сложные задачи. Помогает при этом выявление скалярных инвариантов рассматриваемой задачи, так как функция Лагранжа и ее плотность должны выражаться через эти инварианты.
Пусть плотность L функции Лагранжа выбрана. Обычно она выражается через некоторые скалярные полевые переменные i=i(1,2,3,4) (i=1, 2, … n). Это величины, значения которых характеризуют состояние поля в данной точке пространства (1,2,3) в данный момент времени t=4, а также их производные . Некоторые из полевых переменных могут служить компонентами вектора или тензора. Кроме того, в случае неоднородного поля L может зависеть непосредственно от 1,2,3, а в неавтономном – от 4. Тогда полный интеграл, который служит обобщением интеграла действия, имеет вид
. …………………. (63)
и должен быть инвариантом относительно преобразований, допустимых в рассматриваемой теории. Требование стацио-нарности интеграла (63) при заданных граничных условиях приводит к системе уравнений Эйлера
, … (64)
которые в механике называются уравнениями Лагранжа.
При включении в рассмотрение точечных, линейных и поверхностных масс, зарядов и т.п. к интегралу (63) могут добавиться интегралы меньшей размерности.
Если к L добавляется выражение дивергентного типа
,
к интегралу (63) добавится слагаемое, определяемое граничными условиями, а система уравнений Эйлера не изменяется.
Величина
(i=1,2,…,n) ………………(65)
Называется плотностью канонического импульса.
В задачах механики она называется плотностью обобщенного импульса. Перепишем уравнения (64) в виде, подобном закону Ньютона.
.
В правой части получаем аналог плотности обобщенной силы; при этом первый член часто бывает, связан с наличием внешних сил, действующих на поле, а второй – с воздействием поля на величину .
Квадратная матрица W четвертого порядка с элементами ,(i≠j), , …………. (66)
Называется матрицей напряжения - энергии. В частности , (67)
есть плотность энергии поля. Если L, а также пространствен-ная область G, занятая полем, и значения всех величин на границе G не зависят от t, то интеграл не зависит от t.
Выразив, если это возможно, из равенств (65) величины через все остальные и подставив результат в (67), получим выражение H через координаты, полевые переменные, их пространственные производные и канонические импульсы. Если, переписать интеграл (63) в виде
и записать соответствующую систему уравнений Эйлера, то получим каноническую форму
, , (r=1, 2, …,n) (68)
системы (64).
Исходя из выражений (66) и пользуясь уравнениями (64), можно проверить непосредственно, что
(i=1,2,..,n)…………….... (69)
Здесь в левой части стоят полные производные, составленные с учетом зависимости от всех и , тогда как в правой части производная берется лишь по I, явно входящему в L.
Будем для простоты считать координаты , , декартовыми ( =х, =y, =z) и обозначим вектор .
Тогда, если L не зависит от t, то из (69) при i=4 получаем .
Следовательно, вектор представляет плотность потока энергии поля, поэтому его называют вектором интенсивности поля. Вектор называется плотностью импульса поля. Из (69) видно, что если L не зависит от , , , то
( , , ).
7.1. Уравнения движения упругой среды.
Рассмотрим вывод основных уравнений движения упругой среды в однородном изотропном случае. Пусть , , - декартовы координаты и - поле перемещений упругой среды.
Возьмем тензор деформации с компонентами
ﻉij …………………….. (70)
Наряду с ним в теории упругости рассматривается, евклидов тензор напряжений с компонентами , каждая из которых равна j-й проекции силы (отнесенной к единице площади), с которой среда действует на малую площадку с внешней нормалью по i-й оси. Это симметрические тензоры, связанные в случае изотропной среды при малых деформациях (при линейном законе упругости) соотношением: ﻉrr ﻉij, где постоянные и определены упругими свойствами среды. Они связаны с другими упругими характеристиками. Так, в случае простого растяжения, т.е. когда , будет
ﻉ11= , , ﻉ12=ﻉ23=ﻉ13=0.
Поэтому - это и есть модуль упругости Е. Отношение - поперечного сжатия к продольному растяжению называется коэффициентом Пуассона. В случае всестороннего сжатия, т. е. когда (изотропное давление), получаем . Так как сумма равна относительному увеличению элементарного объема, то константа является модулем всестороннего сжатия изотропной упругой среды.
Мысленно выделив элементарный кубик с ребрами, параллельными осям координат, и проследив за его деформацией при возрастании напряжения от нуля, получаем, что при этом накапливается потенциальная энергия с плотностью
.
В силу (70) отсюда получаем
Плотность кинетической энергии равна
,
где - плотность среды. Отсюда можно написать выражение для плотности функции Лагранжа T – U. Полевыми парамет-рами будут служить три проекции вектора перемещения. Уравнение Лагранжа-Эйлера (64) принимает вид
(i=1,2,3).
Умножая на орты координатных осей и складывая, приходим к уравнению свободных колебаний упругой однородной изотропной среды
,
являющееся основным в теории упругости.