- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
1) Случай одной независимой переменной.
Если есть дифференцируемая функция двух аргументов x и y в некоторой области D плоскости XOY, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t, то есть , , то сложная функция - есть функция одной переменной t и имеет место равенство . В частности, если t совпадает с одним из аргументов с x , то справедлива формула и называется полной производной функции z по x.
Пример 3. Найти , если , где , .
Решение. Воспользуемся формулой. Предварительно находим
, , , . Тогда
Пример 4 . Найти частную производную и полную производную , если , где .
Решение. Имеем . Находим
Случай нескольких независимых переменных.
Если z есть сложная функция нескольких переменных, например , где аргументы x, y, так называемые промежуточные переменные, являются функциями независимых переменных u, v: , , то сложная функция фактически является функцией двух «конечных» переменных u, v. Если функции — дифференцируемые функции, то частные производные по выражаются так:
, или
, или
Структура формул та же и при большем числе переменных.
Пример 5 . Найти и , если , ,
Решение: Находим ; ; ; ; ; ;
Подставляя полученные выражения в формулы, имеем:
,
.
Ответ можно оставить в такой форме или выразить через u и v. В результате получим: ,
.
Инвариантность формы полного дифференциала.
Отметим важное свойство инвариантности формы полного дифференциала. Во всех рассматриваемых выше случаях справедлива формула:
. (*)
Действительно, дифференциал сложной функции , где переменные , есть функции от новых независимых переменных u и v, можно получить, если в формуле (*) дифференциалы dx и dy заменить (по определению):
; .
В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv получим:
,
где , ,
полученная формула показывает, что форма первого дифференциала не зависит от того, являются ли x и y независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью (неизменяемостью) формы первого дифференциала.
Производная по направлению.
Градиент функции и его свойство
1. Производной от функции в точке по данному направлению вектора называется , где , и - значения функции в точках М и М1.
Если функция дифференцируема, то производная (по направлению ) вычисляется по формуле: , где α- угол, образованный вектором с осью ОХ. В случае функции трёх переменных производная по направлению определяется аналогично и вычисляется по формуле ,
где , , , т.е. α,β, -углы между направлением и соответствующими координатными осями, а - направляющие косинусы вектора , причём . Производная от функции в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении. Производная равна нулю по любому направлению, касательному к поверхности уровня .
Производная достигает своего наибольшего значения по направлению нормали к поверхности уровня.
Пример 6. Найти производную в точке М(1;0) по направлению, составляющему с ОХ угол в .
Решение. Найдём частные производные и их значения в данной точке М: .
Далее определяем , .
Получим искомую производную . Знак минус показывает, что функция в данной точке по данному направлению убывает. Известно, что направляющие косинусы вектора находятся по формулам
; ; , где
2. Градиентом функции в точке называется вектор, выходящий из точки М и имеющей своими координатами частные производные функции, т.е.
. На основании этого определения проекции вектора на координатной оси записывается так: , . Предполагается при этом, что функция -однозначная непрерывная, имеющая непрерывные частные производные, т.е. дифференцируемая. Значит, производная данной функции в направлении связана с градиентом функции следующей формулой: , т.е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования. Градиент функции двух переменных в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня функции. Значит направление вектора в каждой точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т.е. при производная наибольшая
при . В этом состоит основное свойство градиента: градиент указывает направление наибольшего роста функции в данной точке. Аналогично определяется градиент функции трёх переменных . Он равен . Градиент функции трёх переменных в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.