- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
36. Поверхностные интегралы
Поверхностные интегралы первого рода
Определение поверхностного интеграла
от скалярной функции.
Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности Σ с кусочно-гладкой границей C определена некоторая ограниченная функция f(M). Разобьем поверхность Σ кусочно-гладкими кривыми на части Σ1, ..., Σn (рис. 36.1). Площадь каждой из них обозначим Ds i (i=1,…,n). Пусть в каждой из этих площадей выбрана произвольная точка Mi . Составим сумму
T= Ds i. (36.1)
Величина Т будет называться интегральной суммой отвечающей функции f(M) (при данном разбиении поверхности Σ и выборе точек M). Поверхность Σ может быть, в частности, замкнутой.
Определение. Если при стремлении наибольшего из диаметров частей Σk, поверхности Σ к нулю интегральные суммы Т стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (M) по поверхности Σ и обозначается символом f(M) ds.
Рис.36.1
Точку M поверхности Σ можно задать декартовыми координатами x, у, z Поэтому функцию f (М), определенную на Σ, мы будем обозначать также f(x, у, z), а соответствующий поверхностный интеграл - f(x, у, z) ds. Приведем поверхностный интеграл к двойному интегралу. Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах.
Пусть Σ - гладкая поверхность, заданная уравнением
z = z(x, y), (x, y)є D , где D—замкнутая ограниченная область, a f(x, y, z)-некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности Σ. Тогда справедливо равенство
f(x, y, z) ds = f(x, y, z(x ,y)) dxdy . (36.2)
При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства.
Рис.
36.2
чем диаметр соответствующего элемента Σi, поверхности Σ.
Рассмотрим сумму T= Δsi .
Площадь Δsi элемента Σi вычисляем по формуле Δsi = dxdy,
где z= z(x, y), и по теореме о среднем для двойного интеграла от непрерывной функции имеем
Δsi = Si,
где (хi*, уi*)- некоторая точка, принадлежащая области Di, а S i-площадь этой области. Интегральную сумму T можно записать
так
T= f( xi ,yi ,z(xi ,yi )) Si (36.3)
Сравним ее с интегральной суммой вида
T*= f(xi, yi, z(xi, yi)) Si . (36.4)
Выражение T* отвечает двойному интегралу, стоящему в равенстве (36.2) справа при том разбиении области D , которое соответствует данному разбиению поверхности Σ. T , T* отличаются друг от друга только тем, что в сумме (36.4) значения функции f и под квадратным корнем берутся в точке (хi, уi) (произвольно выбираемой внутри элемента D i), а в (36.4) значения под квадратным корнем берутся в точке
( xi*, yi*), диктуемой нам теоремой о среднем. Эти суммы равны. Предел интегральных сумм Т существует и равен интегралу, стоящему в (36.2) справа.
Следствие. Если поверхность Σ гладкая, а функция f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл f(x, у, z) ds существует.
Действительно, в этом случае в равенстве (36.2) справа стоит интеграл от непрерывной функции. Он существует, следовательно, существует и стоящий слева поверхностный интеграл.
Замечание. Пусть поверхность Σ состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида x= x(y, z), y= y(z, х) или z= z(x, y). Для сведения поверхностного интеграла, взятого по такой поверхности к двойному интегралу можно, воспользоваться тем, что поверхностный интеграл по поверхности Σ равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям. Легко проверить, что эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая.
Пример 1 . Вычислить поверхностный итеграл
J = (x2+ y2)1.5ds, – часть поверхности z2= x2+ y2, заключенной между плоскостями z = 0, z = 1.
Решение. Вычислим
, , ds = =
= = . Тогда интеграл J можно
преобразовать в двойной и вычислить с помощью полярной системы координат (x = r cos φ , y = r sin φ, 0≤ r ≤1, 0≤ φ≤ π/2)
J = (x2 + y2)1.5 =4 =2π /5.
где – D проекция поверхности Σ на плоскость XOY
(D: x2 + y2 ≤ 1).
Применения поверхностных интегралов механике
Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей.
Пусть по поверхности Σ (гладкой или кусочно-гладкой) распределена некоторая масса с поверхностной плотностью ρ(х, у, z), представляющей собой непрерывную функцию на Σ. Такую поверхность Σ будем кратко называть материальной поверхностью. Тогда имеют место следующие формулы:
Масса μ материальной поверхности Σ равна
μ= ρ(х, у, z)ds.
2) Координаты центра масс материальной поверхности определяются формулами xc = (1/S) xρ(х, у, z) ds ,
yc = (1/S) yρ(x, y, z) ds , zc = (1/S) zρ(x, y, z) ds,
S = ρ(x, y,z)ds. (36.5)
Для однородной поверхности ρ= const .
Моменты инерции поверхности Σ относительно осей координат равны
Jz= (x2 + y2) ρ(x, y, z) ds, Jy= (x2 + z2) ρ(x, y, z) ds,
Jx= (z2 + y2) ρ(x, y, z) ds.
Пример 2. Вычислить площадь поверхности (S) части пароболоида y=x2+z2 в первом октанте, ограниченной плоскостью y=2.
Решение. Введем полярную систему координат x = r cos φ ,
z = r sin φ, 0≤ r ≤ , тогда
S = dxdz = dxdz=
=– = (1+4r2)3/2 = .
Поверхностные интегралы от векторных функций.
Выше были рассмотрены поверхностные интегралы от скалярных функций. Это понятие можно перенести на векторные функции. Пусть (M) = P i + Q j + R k - некоторая векторная функция, заданная на поверхности Σ. Определим интеграл от этой функции по поверхности Σ, положив
(M) ds = i P(M) ds + j Q(M) ds + k R(M) ds.
Существуют задачи, в которых ориентация элемента ds играет существенную роль. К ним относится задача о расчете количества жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Эти задачи приводит к другому понятию поверхностного интеграла, так называемому поверхностному интегралу второго рода.