- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
23. Производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
; ,
; .
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и выше третьего порядков; например: ; и т.п.
Символ обозначает частную производную третьего порядка функции , вычисленную три раза по х; символ обозначает, что от функции z взята частная производная третьего порядка, причём она вычисляется два раза по х и от полученной производной вычислена один раз производная по у. Имеет место такая важная теорема: если частные производные непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования. Таким образом, так называемые смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования , равны между собой, если они непрерывные функции, например: .
Пример 1 . Найти частные производные второго порядка от следующих функций: а) z=2xy; б) z=ln(x2+y2); в) /
Решение. Находим сначала частные производные первого порядка. Затем их дифференцируем вторично:
а) ; ; ; ; .
б) Находим ; ; далее
находим ;
;
.
в) Имеем
; ;
Теперь находим: ; ; .
Дифференциалы высших порядков.
Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала (первого порядка), т.е. .
Аналогично определяются дифференциалы функции z порядка выше второго , например: , т.е. дифференциалом третьего порядка от функции z есть дифференциал от её дифференциала второго порядка. Вообще, , . Если , где аргументы х и у –независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
.
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символическая формула для дифференциала порядка n : , которая формально раскрывается по биноминальному закону. Если , где аргументы и являются функциями одного или нескольких независимых переменных, то
Если х и у – независимые переменные, то и - величины постоянные, поэтому , . Заметим, что следующая запись означает , выражение следует понимать, как выражение и т.д. Кроме способа вычисления дифференциалов функции по формулам, есть другой способ нахождения дифференциалов высших порядков, который даёт возможность определить их, минуя вычисление частных производных; далее по известному выражению дифференциала мы сможем находить и частные производные. Этот способ состоит в последовательном дифференцировании. Рассмотрим следующий пример.
Пример 2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
Решение. Имеем ; поэтому . Далее находим ; ; . Имеем: .
Дифференцирование неявных функций.
1) Случай одной независимой переменной.
Пусть -неявная функция , т.е. она определяется из уравнения , не разрешённого относительно . Это значит, что при каждом значении , при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение так, что . Если - дифференцируемая функция переменных и , то производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , может быть найдена по формуле , при условии, что Формула позволяет находить n-ую производную от по , зная (вычисляя от следующие производные).
Пример 3 . Найти , если функция задана неявно уравнением , где -величина постоянная.
Решение. Обозначим левую часть данного уравнения . Найдём её частные производные
, .
Применив формулу , получаем .