- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Условный экстремум.
Во многих задачах на отыскание экстремума функции ее переменные оказываются не независимыми переменными, а связанными друг с другом некоторыми добавочными условиями (так называемыми уравнениями связи). Здесь мы имеем дело с задачами на условный экстремум.
Условным экстремумом функции двух переменных называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что аргументы x, y связаны уравнением (уравнение связи). Для отыскания условного экстремума функции при наличии уравнения связи применяют метод Лагранжа:
Составляют функцию Лагранжа. Обозначается Ф или L.
где - неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции .
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид
Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные x, y и . Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
, для найденных значений x, y и , полученных из системы уравнений , при условии, что dx и dy связаны уравнением
.
А именно, функция имеет условный максимум, если и условный минимум, если .
В частности, если дискриминант для функции Лагранжа в стационарной точке, то в этой точке имеется условный экстремум данной функции , причем условный максимум , если А<0 (или С<0 ), и условный минимум , если A>0 (C >0), где
.
Аналогично находится условный экстремум функции трех и большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределённых множителей, сколько имеется уравнений связи.
Пример 1 . Определить условный экстремум функции
при условии .
Решение. Геометрически данная задача сводиться к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты плоскости для точек пересечения её с прямым круговым цилиндром . Составим функцию Лагранжа , где -неопределённый множитель; - уравнение связи.Находим , .Необходимые условия экстремума для функции получаем из следующей системы уравнений
Решая эту систем, получаем два решения , , и , , . Далее, находим , , . Значит, .
При , , имеем и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум: .
При , , имеем и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум: .
Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции в замкнутой области.
Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений или во внутренних точках этой области, являющимися стационарными точками или в точках, лежащих на границе области. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:
1) Найти стационарные точки, расположенные внутри данной области, и вычислить значения функции в этих точках;
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;
3) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечание 1. В данном случае нет необходимости исследовать функцию на экстремум с помощью частных производных второго порядка. Требуется найти лишь стационарные точки и значения функции в них.
Замечание 2. Для функции линии границы области являются функцией одной переменной: либо , , либо , ,
поэтому на соответствующих участках границы данная функция является функцией одной переменной.
Несколько уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходиться вводить в функцию Лагранжа столько неопределённых множителей, сколько имеется уравнений связи.
Пример 2 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции внутри замкнутого треугольника , , (рис.26.1).
Решение.1) Находим стационарные точки внутри . Имеем : частные производные ;
Рис. 26.1
Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений:
Так как , для нахождения стационарных точек внутри , имеем систему , откуда ; , из которой находим единственную стационарную точку , где значение функции .
2) Переходим к исследованию функции на границах области, которая состоит из отрезков ОА оси ОХ, ОВ оси ОУ и отрезка АВ прямой.
а) На оси ОХ отрезок ОА: , и заданная функция , ; аналогично, на оси ОУ отрезок ОВ: , где также заданная функция , .
б) Исследуем функцию на отрезке АВ: где прямая АВ задана уравнением , . Поэтому функция на этой прямой будет зависеть от одной переменной х, где :
, .
На концах отрезка [0,6]: .
Находим критические точки функции .
Имеем . Решая уравнение , получаем ; соответственно, . Итак -критическая точка на отрезке АВ; значение функции . Следовательно, внутри в точке ; на сторонах ОВ и ОА и в вершинах ; на стороне АВ. Итак, наибольшего значения функция достигла в точке , а наименьшего значения на границе области в точке .