§ 7 Преобразование фурье.

Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований.

Пусть функция задана на интервале, конечном или бесконечном.Интегральным преобразованием функции называется функция

,

где фиксированная для данного преобразования функция, называемаяядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существует в собственном или несобственном смысле).

1 Интеграл Фурье

Всякая функция которая на отрезкеудовлет- воряет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом

(1) Коэффициенты ряда (1) вычисляются по формулам

(2)

Ряд в правой части равенства (1) можно записать в другой форме. С этой целью внесём в него из формул (2) значения коэффициентов , подведём под знаки интегралови(это возможно, поскольку переменной интегрирования является) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь:

. (3)

Если функция первоначально была на интервале числовой оси, большем, чем(например на всей оси), то разложение (3) воспроизведёт значение этой функции на отрезкеи продолжит её на всю числовую прямую, как периодическую функцию, с пери -одом. Поэтому, если функция(вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно перейти к пределу при. При этом естественно потребовать выполнения следующих условий:

1). удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох;

2). Функция абсолютно интегрируема на всей чис -ловой оси,

(4)

При выполнении условия 2) первое слагаемое правой части равенства (3) при стремится у нулю. В самом деле,

Попытаемся установить, во что перейдёт в пределе при сумма в правой части (3). Положим

так, что . Тогда сумма в правой части (3) примет вид

. (5)

В силу абсолютной сходимости интеграла, эта сумма, при больших , мало отличается от выражения

которое напоминает интегральную сумму для функции пере -менного

составленную для интервала изменения. Поэтому естественно ожидать, что , при, (сумма (5) перейдёт в интеграл

С другой стороны, при (фиксировано) из фор -мулы (3) вытекает, что

, (6)

и мы получаем равенство

. (7)

Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой

ТЕОРЕМА 1. Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой осии имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке, то справедливо равенство

При этом во всякой точке , являющейся точкой разрыва 1-го рода функции, значение интеграла в правой части (7) равно

Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в её правой части интеграл - интегралом Фурье. Если воспользоваться формулой для косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде

, (8) где

(9)

Функции являются аналогами соответствующих ко - эффициентов Фурьеи- периодической функции, но последние определены для дискретных значений, в то время какопределены для непрерывных значений.

2. Комплексная форма интеграла Фурье.

Предполагая абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл

.

Этот интеграл равномерно сходится для , так каки потому представляет собой не- прерывную и, очевидно, нечётную функцию от. Но тогдаС другой стороны, интеграл

является чётной функцией от переменной , так чтоСледовательно, интегральную формулу Фурье можно записать так

. (10)

Умножим равенство

на мнимую единицу и прибавим к равенству (10). ПолучимОтсюда, в силу формулы Эйлера (), будем иметь

(11) Это комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее ин- тегрирование по понимается в смысле главного значения по Коши

3. Косинус - и синус – преобразования Фурье.

Пусть функция является кусочно гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (12) называетсяпреобразование Фурье функции (спект- ральной функцией ). интегральноеное преобразование функции на интервалес ядром. Используя интегральную формулу Фурье

Получаем (13) это так называемоеобратное преобразование Фурье, дающее переход от к

Иногда прямое преобразование Фурье задают так

(14) Тогда обратное преобразование Фурье определяется форму -лой (15)

Преобразование Фурье функцииопределяют также следующим образом

. (16) Тогда, в сою очередь,

(17)

При этом положение множителя достаточно произ- вольно: он может входить либо в формулу (16) либо в формулу (17).

ПРИМЕР 1. Найти преобразование Фурье функции

Имеем

(18)

Это равенство допускает дифференцирование по под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когдапринадлежит любому конечному отрезку)

. Интегрируя по частям, будем иметь:

Внеинткгральное слагаемое обращается в нуль и мы получа- ем Откуда

(19) (С - постоянная интегрирования). Полагая в (19) , найдём. В силу (18), имеем

Известно, что . Поэтомуи значит. Таким образом,. В частности, для,получаем, что

ПРИМЕР 2.. (разряд конденсатора через сопротивление). Рассмотрим

Для спектральной функцииполучаемОтсюда, (см. рис. 14).

У

О Х

Рис. 14

Условие абсолютной интегрируемости функции на всей числовой оси является весьма жёстким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, какдля которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует. Фурье – образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при(как в примерах 1. и 2.)..

Используя формулу косинуса разности, перепишем интег- ральную формулу Фурье

в следующем виде:

(20

Пусть - чётная функция. Тогда

Так что из равенства (20) имеем

. (21) В случае нечётной функции аналогично получаем. (22)

Если функция задана лишь на, то формула (21) продолжаетна всю ось Ох чётным образом, а формула (22) - нечётным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (23) ( называетсякосинус – преобразованием Фурье функции .

Из (21) следует, что для чётной функции . (24) Это означает, что, в свою очередь, является косинус - преобразованием дляИными словами, функциииявляются взаимными косинус – преобразованиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . (25) называетсясинус – преобразованием функции . Из (22) получаем, что для нечётной функции, (26) т.е.иявляются взаимными синус – преобразова -ниями.

4, Свойства преобразования Фурье.

1. Линейность. Если и- преобразования Фурье функцийисоответственно, то при любых постоянныхипреобразованием Фурье функцииявляется функция.

Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем Таким образом, преобразование Фурье - это линейный оператор. Обозначив его через, будем писатьили

2. Если - преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой прямой функции, тоограничено при всех.

В самом деле, пусть функция абсолютно интегрируема на всей оси,

и пусть

- преобразование Фурье функции . Тогда

3. Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция имеет производнуютакже абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так чтостремится к нулю приСчитаягладкой функцией, запишемИнтегрируя по частям, будем иметьВнеинтегральное слагаемое обращается в ноль, ( так какстремится к нулю при) и мы получаем(27) Таким образом, дифференцированию функцииотвечает умножение её образа Фурьена множитель.

Если функция имеет гладкие абсолютно интегрируемые производные до порядкавключительно и все они, как и сама функция, стремятся к нулю прито, интегрируя по частям нужное число раз, получим(28)

Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину и тем самым упрощает задачу интегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.

Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функцииявляется ограниченной функцией от(свойство 2), то из соотношения (28) получаем дляследующую оценку:

Из этой оценки следует: чем больше функция имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее её преобразование Фурье стремится к нулю приЗамечание. Условие является достаточно естественным, поскольку обычная теория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и конец, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью.

5. Связь между скоростью убывания функции при и гладкостью её преобразования Фурье.

Предположим, что не только , но и её произведениеявляются абсолютно интегрируемыми функциями на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье

функции будет дифференцируемой функцией. Действительно, формальное дифференцирование по параметруподынтегральной функции приводит к интегралукоторый является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра. Следовательно, дифференци -рование возможно, и

Таким образом,

, т.е. операция умножения на аргументпереходит после преобразования Фурье в операцию.

Если вместе с функцией абсолютно интегрируемыми на всей числовой прямой Ох являются функциито процесс дифференцирования можно продолжить. Получим, что функцияимеет производные до порядкавключительно, причёмТаким образом, чем быстрее функцияубывает при, тем более гладкой получается функция

ТЕОРЕМА (о свёртке). Пусть функции и- преобразования Фурье функцийсоответственно. Тогда

Причём двойной интеграл в правой части сходится абсолютно.

В самом деле, положим , так что. Тогда будем иметь

или, меняя порядок интегрирования,

. Функция называетсясвёрткой функций и, и обозначается символом. Поэтому можем записатьПоэтому видим, что преобразование Фурье свёртки функцийиравно умноженному напроизведению преобразований Фурье свёртываемых функций,