6. Приложения преобразований Фурье.

ПРИМЕР 1. Пусть - линейный дифферен- циальный оператор порядкас постоянными коэф- фициентами,

Используя формулу для преобразования Фурье функции

находим

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1) где - введённый выше дифференциальный оператор. Предположим, что искомое решениеимеет преобразование ФурьеПрименяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на осиотносительно,, откуда, так что формальногде символобозначает обратное преобразование Фурье.

ПРИМЕР 2 Найти решение уравнения(2) при начальных условиях

(3) Это - задача о свободных колебаниях бесконечной одно -родной струны, когда задано начальное отклонение точек струны, а начальные скорости отсутствуют.

Поскольку пространственная переменная изменяется в предедах отдо, подвергнем уравнение и на- чальные условия преобразованию Фурье по переменной. Будем предполагать, что

1) функции и- достаточно гладкие и стремятся к нулю принастолько быстро, что существуют преобразования Фурье

(4) (5)

2) допустимы операции дифференцирования, так что

(6) (7) Умножая обе части (2) наи интегрируя поотдо, получим:

(8) а из начальных условий (3) найдём

(9) Таким образом, применяя к задаче (2) – (3) преобразование Фурье, приходим к задаче Коши (8) – (9) для обыкновенного дифференциального уравнения, где - параметр. Решением уравнения (8) является функция

Из условий (9) находим, что , и

Применяя обратное преобразование Фурье, получим Это частный случай формулы Даламбера решения задачи.

ПРИМЕР 3. Преобразование Фурье может быть использовано при решении некоторых интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла. Рассмотрим, например, уравнение

(10) где - искомая функция. Записав (10) в виде(11) замечаем, что левую часть (11) можно рассматривать как преобразование Фурье функции, так что (11) равносильно следующему равенству

Тогда по формуле обращения

Функция является решением уравнения (10).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воробьёв Н.Н. Теория рядов. - М.: Наука, 1975.

2. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. - М. Физматгиз, 1983.

3. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы), ч. 1. – М.: Высш. шк., 1980.

4. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика, т.4, - М.Эдиториал, 2001.

5. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – Санкт - Петербург, 2001.

6. Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье - М. Физматгиз, 1959.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ