- •§ 1 Понятие числового ряда.
- •§ 2 Числовые ряды с положительными
- •2. Второй признак сравнения (предельный)
- •3. Признак Даламбера.
- •4. Признак Коши (радикальный)
- •§ 3 Знакопеременные ряды.
- •2. Элементы функциональных рядов.
- •§ 1. Определение функционального ряда
- •§ 2 Степенные ряды.
- •§ 3. Ряд тейлора. Приложения степенных
- •3. Ряды фурье
- •§ 1. Вводные замечания
- •§ 2. Теорема единственности. Ряд фурье.
- •§ 3. Ряд фурье для чётных и нечётных функций.
- •§ 4. Ряд фурье для функции с произвольным
- •§ 5 Ряд фурье в комплексной форме.
- •§ 6. Приложения рядов фурье.
- •1. Задача о колебании струны.
- •§ 7 Преобразование фурье.
- •1 Интеграл Фурье
- •6. Приложения преобразований Фурье.
- •§ 1. Понятие числового ряда ………………………………… 3
§ 2 Числовые ряды с положительными
ЧЛЕНАМИ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
В данном параграфе рассматриваем ряды , для которыхдля всех. Для таких рядов последова- тельность частичных сумм является монотонно возрастающей (неубывающей). Поэтомунеобходимый и достаточный при -знак сходимости таких рядов даёт теорема:
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы ряд с положительными членами сходиля необходимо и достаточно, чтобы последова- тельность его частичных сумм была ограничена.
В самом деле, если ряд сходится, то сходится после -довательность частичных сумм этого ряда, а любая сходя -щаяся последовательность является ограниченной.
С другой стороны, любая монотонная ограниченная после- довательность всегда имеет предел, а если последова- тельность частичных сумм имеет предел, то ряд сходится.
Признаки сравнения рядов. Пусть даны два числовых ряда с положительными членами: (1) и(2).
Чтобы применять признаки сравнения, корорые будут приведе- ны ниже, нам необходимы знать некоторые сведения о рядах, которые будем выбирать для сравнения.
Во – первых, это известная из школьного курса математики сумма элементов геометрической прогрессии с первым эле -ментом и знаменателем:
. (3)
Частичная сумма этого ряда:
.
Очевидно, что конечный предел этих частичных сумм су- ществует только в случае, если и только при этом условии ряд (3) сходится. Если, то данный ряд расхо- дится.
Во – вторых, это так называемый обобщённый гармони -ческий ряд:
(4)
Данный ряд сходится при и расходится при.
Первый признак сравнения (мажорантный).
ТЕОРЕМА 2. Пусть даны два числовых ряда с положитель- ными членами (1) и(2). Пусть для всех нату- ральныхдля членов этих рядов выполняются нера -венства:
. (5)
Тогда, если сходится ряд (2) (с большими членами), то сходится и ряд (1), и наоборот, если расходится ряд (1) (с меньшими членами), то расходится и ряд (2).
В самом деле, для частичных сумм этих рядов выполняют- ся неравенства, аналогичные неравенству (5):
.
Известно, что при переходе к пределу знак неравенства сохраняется, т.е. . Если ряд (2) сходится, то получаем неравенствои ряд (1) также сходится, и наоборот, если ряд (1) расходится, то по – лучаем неравенствои ряд (2) также расходит- ся.
Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость следую- шие ряды:
1. .
Судя по виду ряда, можно предположить, что сравнивать его
будем со сходящимся рядом (сумма сходящейся гео- метрической прогрессии). Числитель дроби принимает значе- ние 4 при чётныхи 2 при нечётных значениях.
(Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна ). Следовательно, исходный ряд сходится.
2. . Учитывая ограниченность функции, можем предположить, что ряд расходится, при данном отношении старших степенейв числителе и зна- менателе дроби. Если вспомнить, что дробь уменьшается, если уменьшить её числитель и увеличить знаменатель, то по- лучим следующее неравенство:
Ряд, стоящий справа - это обобщённый гприонический ряд с , поэтому он расходится. Поэтому расходится и ис – ходный ряд, элементы которого больше элементов этого ряда.
Замечание 1. Теорема 2 останется верной, если неравенство (5) выполняется не для всех натуральных значений , а толь- ко начиная с некоторого номера(на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа слагаемых).
Замечание 2. Выводы теоремы 2 остаются верными, если для элементов рядов выполняется неравенство:
, (6) где - произвольная постоянная.