УП_Лабы_Оптимизация управления ТП

6.Расчет величин абсолютной и относительной погрешности метода.

7.Выводы о точности используемого метода.

5.Вопросы для самостоятельной подготовки

1.Как экспериментально снять кривую разгона объекта?

2.Почему при экстраполяции кривой разгона предполагается, что переходный процесс закончится за время равное (3…4)ТО?

3.Как физически реализован объект управления?

4.Постройте кривую разгона ОУ со следующими параметрами ТО=10с, τЗ=2с.

5.В чем заключается недостатки метода экстраполяции?

12

Лабораторная работа №2 Определение коэффициентов дифференциального уравнения

по экспериментальной кривой разгона для объектов управления с самовыравниванием

Цель работы: экспериментальное исследование кривой разгона объекта и определение коэффициентов дифференциального уравнения ОУ по кривой разгона.

1. Обоснование метода

Поведение САУ или любого её звена в динамических режимах описывается уравнением динамики. В большинстве случаев уравнение динамики оказывается нелинейным. Для упрощения нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ вблизи номинальных значений входных и выходных величин. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для решения задач управления. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики.

Исходными данными для составления дифференциальных уравнений являются математические выражения физических законов, определяющих неустановившийся процесс в ОУ или же статистические зависимости между выходными и входными величинами.

Если кривая разгона представляет собой экспоненту или близка к ней, то такие промышленные объекты можно рассматривать как объекты перового порядка. В этом случае переходные процессы в ОУ описываются дифференциальным уравнением I порядка:

a	dY(t)	+ a	Y(t) = X (t)	(1.1)
1	dt	0

Коэффициенты уравнения а0 и а1 могут быть определены по динамическим параметрам полученным из кривой разгона: коэффициенту передачи ОУ и постоянной времени ТО:

13

	=		1				%ходаИМ
a0
			KОБ
							ед. вых. параметра
										(1.2)
	=		ТО				с %ходаИМ
a1
			KОБ
						ед. вых. параметра

Уравнение объекта первого порядка обычно записывают в виде:

T	dY(t)	+ Y(t) = K		X (t)	(1.3)
O	dt		ОБ

Если экспериментальная кривая разгона имеет S-образный вид (с точкой перегиба), то такие объекты можно представить дифференциальным уравнением II порядка:

a		d 2Y(t)		+ a	dY(t)	+ a	Y(t) = X (t)	(1.4)
		dt2
	2			1	dt	0

Значения коэффициентов уравнения (1.4) могут быть определены при нулевых начальных условиях: X(0)=Y(0)=Y΄(0)=Y΄΄(0)=0. Для статического объекта при t→∞ переходные процессы будут закончены и Y΄(∞)=Y΄΄(∞)=0. Тогда

	=	X (∞)			%ходаИМ
a0							(1.5)
		Y(∞)
					ед. вых. параметра

где Х(∞) и Y(∞) новые установившиеся значения входного и выходного параметров.

Если проинтегрировать уравнение (1.4) в пределах от t=0 до t=∞ можно определить коэффициент а1:

a0

∞

[Y(∞)−Y(t)]dt =

a0

% хода ИМ c

=

a1

J1

(1.6)

Y(∞)∫0

Y(∞)

ед.

вых.

парам

14

Для определения коэффициента а2 уравнение (1.4) следует проинтегрировать дважды: в пределах от t=0 до t=∞, а затем от от t до t=∞:

∞

∞ ∞

a2

=

1

a1 ∫

[Y(∞)− Y(t)]dt − a0 ∫∫

[Y(∞)− Y(t)]dt2 =

Y(∞)

0

0 t

(1.7)

% хода ИМ c

2

=

1

[a J

− a

]

J

Y(∞)

1

1

0

2

ед. вых. параметра

Подынтегральная функция [Y(∞) – Y(t)] для уравнений (1.6), (1.7) задана графически кривой разгона, как разность между новым установившимся значением выходной величины и ее текущим значением.

Разобьем отрезок времени от внесения возмущения до момента достижения нового установившегося значения на n интервалов и определим для каждого i-участка разбиения (момента времени) значения [Y(∞) – Y(t)]. Данные для приближенного численного интегрирования удобнее заносить в таблицу.

Число интервалов разбиения не должно быть слишком большим n<10. Каждый интервал необходимо выбирать так, чтобы аппроксимирующая ломаная линия возможно ближе подходила к экспериментальной кривой разгона, то есть интервалы времени Δτi могут быть различны.

Если объекту свойственно чистое (транспортное) запаздывание τЧ, то при определении коэффициентов уравнения следует рассматривать лишь участок кривой разгона после времени чистого запаздывания. Время τЧ должно быть учтено путем изменения начала отсчета. В этом случае уравнение (1.4) примет вид:

a		d 2Y(t)		+ a	dY(t)	+ a	Y(t) = X (t −τ		)	(1.8)
		dt2
	2			1	dt	0		Ч

Рассмотрим в качестве примера определение коэффициентов уравнения по нормированной экспериментальной переходной характеристике температуры поверхности металла в сварочной зоне печи. Температура поверхности (точнее, слоя окалины) измеряется пирометром, способным фиксировать всплески тепловой радиации факела, что отчетливо видно на рис. 1.2. Экспериментальная характеристика (линия 1) была усреднена и после сглаживания

15

определены параметры ОУ: время транспортного запаздывания τЧ=4с, ТО=17с, КОБ =0,89 °С/%хода ИМ.

Рис. 1.2. Экспериментальная переходная характеристика:

1 – показания пирометра, 2 – после усреднения

Данные для приближенного численного интегрирования сведем в таблицу 1.1. Число интервалов разбиения n=8. Значения коэффициентов уравнения (1.8) определяем по формулам (1.5)-(1.7) и данным рассчитанным в таблице (выделены жирным шрифтом):

a0

==

1

=

1

=1,12

1

Y(∞)

0,89

С°

a0

1,12

%

хода ИМ c

a1

==

J1

=

11,15 =14,07

Y(∞)

0,89

С°

1

%

хода ИМ c2

a2

=

[14,0711,15−1,12147,37]= −9,78

С°

0,89

Дифференциальное уравнение ОУ примет вид:

9,78

d 2Y(t)

+14,07

dY(t)

+1,12Y(t)= X (t − 4)

(1.9)

dt2

dt

16

Таблица 1.1

Приближенное численное интегрирование

					n		n
t, c	τi, c	Y(t),	Y(∞)-Y(t),	Δτk·(4k+4k+1)	J1 = ∑5i	Δτk·(6k+6k+1)	J2 = ∑7i
		°C	°C	2	i=k	2	i=k
1	2	3	4	5	6	7	8
4,0	7,5	0,00	0,89	4,95	11,15	65,04	147,37
11,5	8,5	0,46	0,43	2,85	6,20	40,58	82,33
20,0	10,0	0,65	0,24	1,85	3,35	24,25	41,75
30,0	10,0	0,76	0,13	0,90	1,50	10,50	17,50
40,0	10,0	0,84	0,05	0,35	0,60	4,25	7,00
50,0	10,0	0,87	0,02	0,15	0,25	1,75	2,75
60,0	20,0	0,88	0,01	0,10	0,10	1,00	1,00
80,0	–	0,89	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00

Преобразуем дифференциальное уравнение операторным методом:

9,78p2 +14,07 p +1,12 = 0;
p	=	−14,07 ± 14,072		− 4 9,78 1,12	= −1,355;	− 0,085;
1,2			2 9,78

(p +1,355)(р + 0,085)= 0; (0,74p +1)(11,76 р +1)= 0.

Точное решение уравнения (1.9) называется переходной характеристикой объекта (реакция на единичное ступенчатое воздействие ОУ):

			t − 4				t − 4
Y(t) = 0,89 1	−1,07 exp	−			+ 0,07 exp	−		,
			11,76				0,74

	11,76	= −1,07;	0,74	= 0,07
	0,74 −11,76		11,76 − 0,74

График переходной характеристики можно получить с помощью численного метода решения уравнения (1.9), см. приложение А.

17

Уравнение объекта II порядка может быть задано в виде:

T	2 d 2Y(t)			+ T	dY(t)	+ Y(t) = K			X (t),
	2 dt 2
				1 dt			ОБ		(1.10)
	1

KОБ = 1 = a1KОБ ; Т2 = a2 KОБ .

а0

2.Определение динамических параметров объекта по кривой разгона; Т

Наиболее просто и наглядно дает представление о характеристике переходного процесса в объекте кривая разгона, представляющая собой траекторию изменения выходного параметра во времени при однократном скачкообразном возмущении на входе.

Вид кривой разгона Y(t) зависит от изменения скорости выходной величины во времени, то есть производной dY(t)/dt, что в свою очередь определяется свойствами объекта.

Если изменение выходной величины после скачкообразного входного воздействия происходит с постоянно уменьшающейся скоростью до момента достижения нового установившегося значения, то кривая разгона имеет экспоненциальный вид, а объект представляет собой инерционное звено I порядка, см. рис. 1.3, линия 1.

Рис. 1.3. Кривые разгона (а) и характер изменения производной выходной величины (б): 1 – объект I, 2 – объект II порядка

Если изменение выходной величины после скачкообразного входного воздействия происходит сначала с увеличением скорости, а затем с уменьшением dY(t)/dt до момента достижения нового установившегося значения, то кривая разгона имеет S-образный вид, а

18

объект представляет собой инерционное звено II порядка, см. рис. 1.3, линия 2.

Кривые разгона, полученные на промышленных объектах в большинстве имеют S-образный вид, что характерно для объектов II и более высоких порядков, см. рис. 1.4. Для количественной оценки динамических свойств объектов используются следующие параметры:

Рис. 1.4. Экспериментальная кривая разгона реального ОУ

Время запаздывания τЗ – отрезок времени от начала возмущения до момента начала изменения выходной величины с постоянной

19

максимальной скоростью или до момента пересечения касательной к Y(t) в точке М максимальной скорости [dYdt]max с осью времени.

Постоянная времени (время разгона)ТО – время, в течение которого выходная величина переходит из одного установившегося состояния Y1 в другое Y2, при условии изменения этой величины с

постоянной максимально возможной скоростью [dYdt]max при подаче

на вход ступенчатого воздействия. Время разгона характеризует инерционные свойства объекта.

Коэффициент передачи объекта КОБ – число единиц изменения выходной величины, приходящихся на единицу изменения входной величины:

	=	Y		ед.	выходной	величины
KОБ								(1.11)
		X		ед.	входной
						величины

3. Порядок выполнения работы

1. Изучить методику определения коэффициентов дифференциального уравнения по экспериментальной кривой разгона. Получить допуск к выполнению исследования по данной теме.

2. Включить лабораторную установку. При включении загорается сигнал «работа включена».

3. Определить экспериментальную динамическую характеристику ОУ (кривую разгона) выполнив последовательно следующие операции:

а) Установить переключатель УП-1 выбора режима управления ИМ в положение «дистанционный» или «ручной».

б) С помощью переключателя УП-2 выбора ручного направления движения ИМ, выбирая команды «больше», «меньше», установить по индикатору положения вала ИМ на отметку 40-50% хода ИМ. Наблюдая за движением стрелки вторичного прибора, контролирующего текущее значение выходного параметра ОУ, дождаться окончания переходного процесса.

в) Переключателем УП-2 изменить положение выходного вала ИМ на 10-20% хода ИМ (лучше в направлении увеличения Y(t)) и зафиксировать в журнале наблюдения время движения ИМ.

г) Одновременно с момента начала движения ИМ фиксировать через равные интервалы времени 5-10с текущее значение выходного параметра Y(t) по шкале вторичного прибора до момента окончания переходного процесса, то есть практического прекращения движения стрелки.

20

4. Используя полученные экспериментальные данные построить траектории изменения во времени входного управляющего воздействия Х(t) и выходного регулируемого параметра Y(t) (аналогично рис. 1.4).

5. По полученной экспериментальной кривой разгона в соответствии с рекомендованной методикой определить динамические параметры объекта: τЗ, ТО, КОБ,.

6.Сделать вывод относительно типа исследуемого объекта. Записать дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в ОУ, рассчитать коэффициенты уравнения в соответствии с изложенной методикой.

7.Решить полученное уравнение и построить график расчетного переходного процесса с помощью программы размещенной в приложении А или другим научным методом.

8.Сравнить расчетный график с экспериментальным. Сделать вывод о точности метода. В случае больших отклонений повторить п.5-7 для другого типа объекта.

4.Содержание отчета

1.Формулы для расчета коэффициентов дифференциальных уравнений численным методом.

2.Экспериментальные данные и график экспериментальной кривой разгона.

3.Таблица для расчета коэффициентов уравнения. Итоговое результирующее уравнение и его решение.

4.График расчетной кривой разгона ОУ совмещенный с экспериментальным.

5.Выводы о точности используемого метода.

5.Вопросы для самостоятельной подготовки

1.Какие количественные оценки динамических свойств ОУ используются? Какие формулы существуют для их определения?

2.Запишите уравнение динамики для объектов I и II порядков.

3.Запишите формулы для расчета коэффициентов дифференциальных уравнений.

4.Постройте кривую разгона, по известному уравнению динамики объекта: 0,1Y΄(t) + Y(t) = 2,5Х(t).

5.Что такое переходная характеристика? Как определить уравнение переходной характеристики объекта?

21