- •Лабораторная работа №1 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №2 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №3 «Метод половинного деления»
- •Лабораторная работа №4: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».
- •2)Метод касательных (Ньютона).
- •Лабораторная работа №5 «Комбинированный метод»
- •Лабораторная работа №6: «Решение нелинейных уравнений методом простой итерации».
- •Метод главных элементов для решения системы уравнений
- •Лабораторная работа №8 «Метод Гаусса»
- •Лабораторная работа №9 «Метод Халецкого»
- •Порядок заполнения таблицы:
- •Лабораторная работа №10 «Метод квадратных корней»
- •Лабораторная работа №11 «Метод итераций»
- •Лабораторная работа № 12 «Метод Зейделя»
- •Лабораторная работа13. Интерполирование функции многочленом Лагранжа.
- •Лабораторная работа14. Интерполирование функции многочленом Ньютона.
- •Лабораторная работа15. Сплайновая интерполяция.
- •Лабораторная работа16 Интерполяция функции кубическим сплайном. Метод прогонки.
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа17 Среднеквадратическое приближение
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа18 Ортогональные многочлены Чебышева
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа19. Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников.
- •3) Вычислить определенный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников.
- •4) Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников.
- •Лабораторная работа 20. Метод Эйлера с уточнением
- •Л/р 21«Численное решение ду первого порядка методом Рунге-Кутты 4-го порядка».
- •Л/р22 «Решение ду первого порядка методом Адамса-Башфорта».
- •Лабораторная работа 24
- •4. Минимизация функции f(X) методом барьерных функций:
Лабораторная работа №3 «Метод половинного деления»
Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
1. а) ; б) .
2. а) ; б) .
3. а) ; б) .
4. а) ; б) .
5. а) ; б) .
6. а) ; б) .
7. а) ; б) .
8. а) ; б) .
9. а) ; б) .
10. а) ; б) .
11. а) ; б) .
12. а) ; б) .
13. а) ; б) .
14. а) ; б) .
15. а) ; б) .
16. а) ; б) .
17. а) ; б) .
18. а) ; б) .
19. а) ; б) .
20. а) ; б) .
21. а) ; б) .
22. а) ; б) .
23. а) ; б) .
24. а) ; б) .
25. а) ; б) .
26. а) ; б) .
27. а) ; б) .
28. а) ; б) .
29. а) ; б) .
30. а) ; б) .
Пример 1. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить меньший корень уравнения методом половинного деления с точностью до .
Решение.
а) Отделение корней.
Обозначим . Область определения функции .
Находим производную . Вычислим корни производной:
Составляем таблицу знаков функции , полагая равным: а) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним; б) граничным значениям (исходя из области определения функции):
|
|
-2 |
0 |
|
|
- |
+ |
- |
+ |
Т.к. происходят три перемены знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Чтобы завершить операцию отделения корней, следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так чтобы их длина была не больше 1. Для этого составим новую таблицу знаков функции:
|
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
- |
- |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
Отсюда видно, что корни уравнения находятся в следующих промежутках:
.
б) Уточняем меньший корень , применяя метод половинного деления. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:
|
|
|
|
| |||
0 |
-3 |
-2 |
1 |
-2,5000 |
-15,6250 |
18,7500 |
0,1250 |
1 |
-3 |
-2,5000 |
0,5000 |
-2,7500 |
-20,7969 |
22,6875 |
-1,1094 |
2 |
-2,7500 |
-2,5000 |
0,2500 |
-2,6250 |
-18,0879 |
20,6719 |
-0,4160 |
3 |
-2,6250 |
-2,5000 |
0,1250 |
-2,5625 |
-16,8264 |
19,6992 |
-0,1272 |
4 |
-2,5625 |
-2,5000 |
0,0625 |
-2,5313 |
-16,2183 |
19,2217 |
0,0034 |
5 |
-2,5625 |
-2,5313 |
0,0312 |
-2,5469 |
-16,5210 |
19,4601 |
-0,0609 |
6 |
-2,5469 |
-2,5313 |
0,0156 |
-2,5391 |
-16,3697 |
19,3411 |
-0,0286 |
7 |
-2,5391 |
-2,5313 |
0,0078 |
-2,5352 |
-16,2943 |
19,2817 |
-0,0126 |
8 |
-2,5352 |
-2,5313 |
0,0039 |
-2,5333 |
-16,2568 |
19,2521 |
-0,0047 |
9 |
-2,5333 |
-2,5313 |
0,0020 |
-2,5323 |
-16,2385 |
19,2376 |
-0,0009 |
10 |
-2,5323 |
-2,5313 |
0,0010 |
|
|
|
|
Т.к. , то вычисления прекращаем.
Тогда истинный корень уравнения .
Пример 2. Отделить графически корень уравнения . Уточнить корень методом половинного деления с точностью до .
Решение.
Запишем уравнение в виде .
Построим графики функций и.
Из графика видно, что .
Для удобства расчетов перейдем к десятичным логарифмам:
.
Далее вычисления производим в таблице:
| |||||||
0 |
-0,800 |
-0,500 |
0,300 |
-0,650 |
0,423 |
-0,456 |
-0,360 |
1 |
-0,800 |
-0,650 |
0,150 |
-0,725 |
0,526 |
-0,561 |
-0,021 |
2 |
-0,800 |
-0,725 |
0,075 |
-0,763 |
0,581 |
-0,624 |
0,206 |
3 |
-0,763 |
-0,725 |
0,038 |
-0,744 |
0,554 |
-0,592 |
0,088 |
4 |
-0,744 |
-0,725 |
0,019 |
-0,735 |
0,539 |
-0,576 |
0,032 |
5 |
-0,735 |
-0,725 |
0,010 |
|
|
|
|
Т.к. , то вычисления прекращаем.
Тогда истинный корень уравнения .