- •Лабораторная работа №1 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №2 «Элементарная теория погрешностей»
- •Лабораторная работа №3 «Метод половинного деления»
- •Лабораторная работа №4: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».
- •2)Метод касательных (Ньютона).
- •Лабораторная работа №5 «Комбинированный метод»
- •Лабораторная работа №6: «Решение нелинейных уравнений методом простой итерации».
- •Метод главных элементов для решения системы уравнений
- •Лабораторная работа №8 «Метод Гаусса»
- •Лабораторная работа №9 «Метод Халецкого»
- •Порядок заполнения таблицы:
- •Лабораторная работа №10 «Метод квадратных корней»
- •Лабораторная работа №11 «Метод итераций»
- •Лабораторная работа № 12 «Метод Зейделя»
- •Лабораторная работа13. Интерполирование функции многочленом Лагранжа.
- •Лабораторная работа14. Интерполирование функции многочленом Ньютона.
- •Лабораторная работа15. Сплайновая интерполяция.
- •Лабораторная работа16 Интерполяция функции кубическим сплайном. Метод прогонки.
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа17 Среднеквадратическое приближение
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа18 Ортогональные многочлены Чебышева
- •Образец выполнения задания:
- •Лабораторная работа19. Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников.
- •3) Вычислить определенный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников.
- •4) Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников.
- •Лабораторная работа 20. Метод Эйлера с уточнением
- •Л/р 21«Численное решение ду первого порядка методом Рунге-Кутты 4-го порядка».
- •Л/р22 «Решение ду первого порядка методом Адамса-Башфорта».
- •Лабораторная работа 24
- •4. Минимизация функции f(X) методом барьерных функций:
2)Метод касательных (Ньютона).
, где x0=a, если f(a)×f’’(x)>0; x0=b, если f(b)×f’’(x)>0 на [a;b].
1-е задание: tg(0,55x+0,1)=x2 , где х[0,6;0,8] (см. решение выше).
Так как f(0,6)>0, f(0,8)<0, f’’(x)<0, то за начальное приближение берём х0=0,8. Вычисления производим по формуле:
f’(0,8)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x=-0,8523.
Вычисления производим в виде таблицы:
n |
xn |
f’(x)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x | ||
0 |
0,8 |
-0,04057 |
-0,85238 |
0,047597 |
1 |
0,752403 |
-0,001724 |
-0,77961 |
0,002211 |
2 |
0,750192 |
0,00000 |
-0,77619 |
0,00000 |
Ответ: х0,750
2-е задание: f(x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5 f’(x)=3x2-0,4x+0,5
Так как f(0)>0, f(-1)<0, f’’(x)<0, то за начальное приближение берём х0=-1.
n |
xn |
f(x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5 |
f’(x)=3x2-0,4x+0,5 | |
0 |
-1 |
-0,2 |
3,9 |
-0,05128 |
1 |
-0,94872 |
-0,008281 |
3,579684 |
-0,00231 |
2 |
-0,9464 |
-0,00000 |
3,565608 |
-0,00000 |
Ответ: х-0,946
Лабораторная работа №5 «Комбинированный метод»
Комбинированным методом решить уравнение, вычислив корни с точностью до .
1. . 16. .
2. . 17. .
3. . 18. .
4. . 19. .
5. . 20. .
6. . 21. .
7. . 22. .
8. . 23. .
9. . 24. .
10. . 25. .
11. . 26. .
12. . 27. .
13. . 28. .
14. . 29. .
15. . 30. .
Пример 6. Комбинированным методом решить уравнение , вычислив корни с точностью до .
Решение.
а) Отделим корни аналитически:
;
.
Вычислим корни производной:
Составляем таблицу знаков функции , полагая равным: а) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним; б) граничным значениям (исходя из области определения функции):
|
|
-4 |
2 |
|
|
- |
+ |
- |
+ |
Т.к. происходят три перемены знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Чтобы завершить операцию отделения корней, следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так чтобы их длина была не больше 1. Для этого составим новую таблицу знаков функции:
|
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 | ||
- |
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
- |
+ |
+ |
Отсюда видно, что корни уравнения находятся в следующих промежутках:
.
б) Уточним корень :
;
;
при ;
при ;
, следовательно, методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком, т.е. слева применяем метод касательных, справа – метод хорд.
Тогда используем формулы:
, где ;
, где .
Вычисления будем вести в таблице:
|
|
|
|
| |||||
0 |
-7 |
-6 |
1 |
-26 |
38 |
81 |
64,0000 |
0,3210 |
-0,5938 |
1 |
-6,6790 |
-6,5938 |
0,0853 |
-1,8215 |
4,0026 |
69,7535 |
5,8241 |
0,0261 |
-0,0586 |
2 |
-6,6529 |
-6,6523 |
0,0006 |
|
|
|
|
|
|
Т.к. , то вычисления прекращаем.
Тогда истинный корень уравнения:
в) Уточним корень :
;
;
при;
при.
, следовательно, методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком, т.е. слева применяем метод касательных, справа – метод хорд.
Тогда используем формулы:
, где ;
, где .
Вычисления будем вести в таблице:
|
|
|
|
|
|
| |||
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
-18 |
-24 |
-20,0000 |
0,0833 |
-0,9000 |
1 |
0,0833 |
0,1000 |
0,0167 |
0,0214 |
-0,3690 |
-23,4792 |
-0,3904 |
0,0009 |
-0,0158 |
2 |
0,0842 |
0,0842 |
0,0000 |
|
|
|
|
|
|
Т.к. , то вычисления прекращаем.
Тогда истинный корень уравнения:
г) Уточним корень :
;
;
при ;
при .
, следовательно, методом хорд получаем значение корня с недостатком, а методом касательных – с избытком, т.е. слева применяем метод хорд, справа – метод касательных.
Тогда используем формулы:
, где ;
, где .
Вычисления будем вести в таблице:
|
|
|
|
| |||||
0 |
3 |
4 |
1 |
-16 |
18 |
48 |
34,0000 |
0,4706 |
-0,3750 |
1 |
3,4706 |
3,6250 |
0,1544 |
-3,3560 |
2,0566 |
32,9585 |
5,4126 |
0,1018 |
-0,0587 |
2 |
3,5724 |
3,5663 |
-0,0061 |
0,1401 |
-0,0767 |
35,7209 |
-0,2169 |
-0,0039 |
0,0022 |
3 |
3,5685 |
3,5685 |
0,0000 |
|
|
|
|
|
|
Т.к. , то вычисления прекращаем.
Тогда истинный корень уравнения: