Matematika_Praktikum

7.В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? экономический смысл?

8.В чем суть применения метода прямоугольников при вычислении определенных интегралов? метода трапеций?

9.Какая аппроксимация подынтегральной функции осуществляется при выводе формулы Симпсона.

10.Могут ли результаты вычисления определенных интегралов по формулам трапеций или прямоугольников быть точнее результатов, полученных по формуле Симпсона?

Глава 10. Дифференциальные уравнения

10.1. Основные определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение,

связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x), и ее производные y , y ,..., y(n) или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

					(n)	0 èëè		dy		d 2 y
	, y		,...,	y			F (x, y, dx ,			dx2
F x, y, y

,..., d n y) 0 (10.1) dxn

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция y=f(x) зависит от одного независимого переменного.

Если независимых переменных две и больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в данное уравнение.

	Например,	y	2	y2 5 0	–	обыкновенное
			x

дифференциальное уравнение первого порядка;

91

y 4(y )3 13y sin x 0 – обыкновенное				дифференциальное
уравнение третьего порядка; x2	z	y2	z	0 – уравнение в
			y
	x

частных производных первого порядка.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется такая функция y=φ(x), которая, будучи подставлена в уравнение (10.1), обращает его в тождество.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Общим решением (или общим интегралом)

дифференциального уравнения (10.1) называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную y=φ(x, C).

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. На практике частное решение получается из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а исходя из тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное

решение. Задание таких			условий				называется заданием
начальных условий, для уравнения					y	(n)			(n 1)	)	их
								f (x, y, y ,..., y
записывают так
	y(x0 ) y0
	y (x0 ) y0
								(10.2)
			.........
y	(n 1)	(x0 ) y		(n 1)
					0

где x0, y0, y0,..., y0(n 1) – заданные числа.

Для дифференциального уравнения первого порядка

начальные условия задают в виде f(x0)=y0 или y

x x0

y0 ,

или у=y0 при х=x0.

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (10.2) называется задачей Коши.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению

92

дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Среди дифференциальных уравнений встречаются такие, которые имеют решения, не получающиеся из общего решения ни при каких значениях С. Такие решения называются особыми.

10.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

f1(x) 1(y)dx f2(x) 2 (y)dy 0,

(10.3)

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение множителей, каждый из которых зависит только от x или только от y, называется

уравнением с разделяющимися переменными.

Поделив обе части уравнения (10.3) на f2 (x) 1(y), получим уравнение

			f1(x)	dx	2 (y)	dy 0,
			f2(x)		1(y)
в	котором	переменные				разделены.	Почленное

интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

	f1		(x)		2	(y)	dy C ,	(10.4)
				dx
	f	2	(x)		(y)
					1

где С – постоянная интегрирования. Выражение (10.4) является общим решением (общим интегралом, поскольку решение записано в неявном виде) уравнения (10.3). Выражая y из (10.4) (если это возможно), получаем общее решение дифференциального уравнения в явном виде y=φ(x, C).

Заметим, что уравнению (10.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на f2 (x) 1(y), т.е.

получаемые из уравнения f2 (x) 1(y)=0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (10.3).

Частное решение находим, используя начальные условия

93

y0 (x0,C).

Кроме того, для получения решения дифференциального

уравнения	(10.3),					удовлетворяющего					произвольному
начальному		условию				y(x0)=y0, можно					воспользоваться
y		f	1	(t)		x		2	(t)
равенством					dt					dt.
		f		(t)			(t)
y0			2			x0		1

10.3. Однородные уравнения первого порядка

Функция f(x, y) называется однородной функцией степени n, где n – целое число, если при любом λ имеет место тождество f(λx, λy) = λnf(x, y).

Например, f(x,y)=

2x	x2 y2	3y,	f (x, y) 2	у	5sin	y	,	f (x, y) xy3 5x4 x2 y2

хx

–однородные функции соответственно первой, нулевой и

четвертой степени. Дифференциальное уравнение вида

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0

называется однородным, если P(x, y) и однородные функции одинаковой степени.

Уравнение (10.5) может быть приведено к виду

y y f x

(10.5)

Q(x, y) –

(10.6)

и при помощи подстановки y u, т.е. y=ux, где u = u(x) –

x

новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять

подстановку x u, т.е. x = uy.

y

10.4. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется

94

линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную y в первой степени, т.е. имеет вид:

y + P(x)y = Q(x)

(10.7)

В частном случае P(x) и Q(x) могут быть постоянными

числами.
Если Q(x) 0, то уравнение (10.7) принимает	вид
y +P(x)y=0 и называется линейным однородным.	Оно

является уравнением с разделяющимися переменными. Если же Q(x) 0, то уравнение (10.7) называется линейным неоднородным.

Методы решения:

1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ), сначала находим общее решение соответствующего линейное однородное дифференциального уравнения (ЛОДУ).

Запишем ЛОДУ в виде dy P(x)y.

dx

В предположении y 0 разделим переменные dy P(x)dx .

y

Проинтегрировав и выполнив преобразования, получим

y C e P(x)dx

(10.8)

Это и есть общее решение ЛОДУ.

Решение ЛНДУ будем искать в том же виде, что и решение ЛОДУ, предполагая, что постоянная С является функцией переменного x.

y C(x) e P(x)dx

(*)

Подставив выражение (*) в (10.7), мы найдем С(х):

C (x) Q(x) e P ( x )dx , т.е. C ( x) Q ( x)e P ( x ) dx C1 , C1 R .

Подставим полученное С(х) в (*) и получим общее решение уравнения (10.7):

95

y e	P ( x )dx		Q(x)e	P ( x )dx	C1		,С1	R.

2. Метод подстановки (метод Бернулли).

Решение уравнения (10.7) ищется в виде y(x) u(x) v(x),

где u(x) и v(x) неизвестные функции. В этом случае линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, откуда и определяются вспомогательные

функции u и v.
Подставляя выражения для y	и y в		(10.7), получим
u v u v Puv Q(x) или		Q(x)	(10.9)
(u Pu) v u v

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например u(x), можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы u Pu 0 , т.е. в качестве u(x) возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными, например, u e P(x)dx .

Подставим u(x) в (10.9) и найдем v(х) как общее решение получившегося уравнения с разделяющимися переменными:

v(x) Q(x)e P(x)dxdx C1, C1 R

Тогда y u v e	P(x)dx		Q(x)e	P(x)dx	dx C
						.
					1

9.5. Примеры

Уравнения с разделяющимися переменными

№1. Найти общий интеграл уравнения 6ex cos2y dx + (1 – 2ex) ctg y dy=0.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе его части на выражение cos2y (1 – 2ex):

	6e x	dx	1	dy 0 .
	1 2ex		cos 2 y tg y

Интегрируя обе части уравнения, имеем

–3 ln|1–2ex|+ln|tg y| = ln |C|, C 0

96

(поскольку C – произвольная постоянная, то для удобства дальнейших преобразований мы заменили С на ln|C|). Отсюда

	tg y	C	или tg y C (1 2ex )3 .
	(1 2e x )3

Получили общий интеграл данного уравнения. При делении на cos2y(1–2ex) мы могли потерять решения

y k , k – целое число, x= –ln2, но они содержатся в

2

общем интеграле, если подставить значение С = 0.

№2. Решить уравнение y/ y

x

Решение. Запишем уравнение в виде dy y . Разделяя

		dy		dx	dx	x
	переменные, будем иметь				и,	следовательно,
		y
				x

ln | y| ln | x| ln	C1	,C1 0.
После потенцирования получим общее решение
		y	C	, где C		C			(10.10)
			x			1

При делении на у мы могли потерять решение у=0, но последнее содержится в формуле (10.10) при С=0.

№3. Найти частное решение ДУ 1 x2 dy ydx 0 при

начальных условиях y(1)=1.

Решение.

Разделяя

переменные, приведем

данное

dy

dx

уравнение к

виду

(1 x2 ) .

Интегрируя обе

части

y

уравнения, получим

dy

dx

;ln

y

arctg x C . Это и

y

(1 x2 )

есть общий интеграл исходного уравнения.

Подставим теперь начальные условия и найдем

произвольную постоянную С: ln1 arctg1 C , т.е.	С		.
	4

97

Следовательно, ln y arctg x 4 , откуда получаем искомое

		arctg	x
частное решение y e 4			.

Однородные уравнения первого порядка

№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.

Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,

P(λx, λy)=λx+λy=λ(x+y)= λP(x,y), Q(λx, λy)= –λx=λ(– x)=λQ(x, y).

Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим

(х+uх)dх–х(хdu+udх)=0, откуда хdх+uхdх– х2du–хudх=0; хdх–х2du=0 или dх–хdu=0.

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим

du

dx

; du

dx

, u ln

x

ln

C

1

, C1

0;

u ln

C1 x

или u ln(Cx)

x

x

, C C1.

Заменяя в полученном выражении u на y , получим

x

у=xln(Cx). Это и есть общее решение данного уравнения. Отметим, что заданное уравнение можно было сначала

привести к виду (9.3.2):

x y x	dy	0, т.е.	dy		х у	. Иначе	y 1	y	. Далее
	dx		dx		х			x

применять указанную выше подстановку и т.д.

№5. Найти общее решение уравнения: y xy2 yx2 .

x3

Решение. Это однородное уравнение третьей степени.

98

Преобразуем его к виду (10.6):

	y		2	y
y					.
				x
x

Полагая у=uх, находим

y u x u.

Подставим значения

y, y в данное уравнение:

u x u u2 u.

Преобразовывая,

получим

уравнение

с

разделяющимися

переменными

du

x u2 2u. Разделяя переменные и интегрируя, находим:

dx

du

dx

1

u 2

ln

x

1

ln

C1

,

u 2

С1

х2 .

;

ln

или

2

u

2u

x

2

u

2

u

Подставим теперь

u

y

в полученное решение.

Имеем

x

y 2x

C

x2, т.е.

y 2x

Сx

2, где C C .

y

1

y

1

Итак, общее решение исходного уравнения y

2x

.

1 Cx2

№6. Найти частное решение уравнения

dy

xy y 2

если

dx

x 2

,

у=–1 при х=1.

Решение. Перепишем уравнение в виде

х2dy = (xy + y2)dx

(*)

и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu.

Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем

х2(udх + хdu)=(х.uх+u2х2)dх; x2(udx+xdu)=x2(u+u2)dx; udx+xdu= udx+ u2dx; т.е. xdu= u2dx.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим

du

dx

du

dx

1

x

С .

,

,

ln

u2

x

u2

x

u

Так как u=

y

, то

x

ln | x | C.

x

y

Используя начальные условия х=1, у= –1, имеем 1=ln1+C,

99

откуда С=1. Следовательно,

x ln x 1, y

Отсюда получаем искомое частное решение данного

уравнения y x .

ln x 1

№7. Привести дифференциальное уравнение ( y 2)dx (2x y 6)dy 0 к однородному.

	Решение.		Иначе	это					уравнение можно записать так
dy		y 2	. Здесь		0	1			2 0, поэтому положив x=u+α,
		2x y 6			2	1
dx

y=v+β, получаем (u+β+2)du–(2u+2α+v+β+6)dv=0, т. е. (u+(β+2))du–(2u+v+(2α+β+6))dv=0.

Подберем α и β так, чтобы		2 0,
		Решая систему,
	2 6 0.

находим α=–2, β=–2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду

(10.5): vdu (2u v)dv 0, т.е. является однородным.

Линейные уравнения первого порядка

№8. Решить уравнение y yctgx sinx.

Решение. Здесь P(x)=–ctgx, Q(x)=sinx. Решим уравнение двумя методами.

I. Метод Лагранжа

Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ

y yctg x , т.е.	dy	yctg x . Предположим, что	y 0 (у=0 –
	dx

решение данного уравнения), разделяя переменные и интегрируя, получим

dy

ctg xdx , ln

y

ln

C1

ln

sin x

, C1 0 ,

y

Отсюда y C sin x, C R .

100