Matematika_Praktikum

в)

dx

;

г)

xdx

.

2

4

tg x 1 cos

x

1 x

Решение.

а)

t x3

et dt

1

1

1

ex3

x2dx

dt d(x3 ) 3x2dx

etdt

et

C

ex3

C.

x2dx

1

dt

3

3

3

3

3

xdx

t 1 x2;

dt

1

dt

1

1

б)

dt 2xdx

ln

t

С

ln(1 x2 ) С.

2

1 x

xdx

dt

2t 2

t

2

2

2

dx

dx

dt

1

t tg x 1, dt

t 2dt

2

2

x

tg x

1 cos

x

t

в)

cos

2t C 2tg x 1 C.

	xdx		t x2				dt				1		dt			1
г)			dt 2xdx														arctg t C
	4						2(1 t	2	)				1 t	2
	1 x									2					2
			xdx	dt
			2

1arctg x2 C.

2

№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

а)		ln	x	dx ;	б)	x2e4xdx .
		x	3

Решение.

а) Положим						u ln x,dv		dx		,	откуда
								x3
	dx		dx		1
du		, v					. Тогда по			формуле	(6.4.1)
			3		2x	2
	x		x

находим

61

ln x

1

1

dx

ln x

1

dx

dx

ln

x

x

3

2x

2

2x

2

x

2x

2

2

x

3

ln x

1

C.

2x2

4x2

б)

x2 e4 x dx

u x2 , dv e4 xdx,

1

1

x2e4 x

1

xe 4 x dx (*)

du

2xdx , v e

4 x

dx

e

4 x

4

2

4

К последнему интегралу снова применим формулу

	интегрирования по частям. Положим											u x,dv e4xdx, тогда
	du dx,v	1	e4x , следовательно,
	4			1			1		1				1
	xe 4 x dx				xe 4 x			e4 x dx		xe 4 x				e4 x .
	4					4		4				16

Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим

	2		4 x		1		2		4 x		1		1		4 x		1			4 x		e4 x		2
x		e		dx		x		e						xe					e		C		8x		4x 1 C.
					4						2		4				16					32

7.6. Варианты заданий

№7.1.

Найти

интегралы

интегрированием:

а)

dx

;

x

2

16

б)

dx

;

25 x

2

в)

x4 5x6 2x dx ;

г)

dx

;

x

3

д)

x2 3x

5

dx ;

x

е)

dx

;

x

2

7

непосредственным

ж)

з)

x2

1)(

4 dx ;

x

и)

x

2

2 dx ;

x

5 sin

3 x

к)

dx ;

sin

2

x

л)

x 2

dx ;

x 3

м)

3x 24 x dx .

№7.2. Найти интегралы методом подстановки:

а)

e

x2

4x 3

(x 2)dx;

в)

x2 dx

;

8 x

3

dx

x

arctg

б)

cos(ln x)

x ;

г)

dx ;

x

2

1

62

sin x dx

1 4 arcsin

x

д)

;

и)

dx ;

cos x 1

1 x

2

е)

5x 1

dx ;

к)

x

2

6

1 x3

dx ;

4 x

2

1

л)

sin xcos2

xdx;

x sin

ж)

x

dx ;

e5x

x2

м)

dx .

4 e

10x

з)

x

x2 7dx;

№7.3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по

частям:

а)

ln x dx ;

е)

x2 ln x dx ;

б)

x

dx

;

ж)

(x 7)sin xdx ;

sin

2

arccos xdx

3x

з)

;

в)

ln(1 x2 )dx ;

1 x

г)

arctg xdx;

и)

x 3 e x dx

;

д)

e2x cos xdx;

к)

(x 2)3x dx .

7.7.Контрольные вопросы

1.Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?

2.Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.

3.Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?

4.Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.

5.Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.

6.В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?

7.Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и и dv при интегрировании по частям?

8.Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.

63

9.Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?

Глава 8. Определенный интеграл

8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a=x0<x1<…<xn–1<xn=b; на

каждом элементарном отрезке	[xk–1,	xk] выберем
произвольную точку ck и обозначим через хk		длину каждого

такого отрезка. Вычислим значения функции f(x) в точках ck,

где k={1, 2, …, n}.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида

n		(7.1.1)
f (ck ) xk	f (c1) x1 f (c2 ) x2 ... f (cn ) xn
k 1

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы (7.1.1), при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

b f (x)dx		lim		n	f (c		) x
			0			k		k	(7.1.2)
a	max x
	k	k		k 1

n

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, [a; b] – промежутком интегрирования.

Свойства определенного интеграла

64

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

b

b

b

f (x)dx f (t)dt f (u)du ...

a a a

а

2. f (x)dx 0

a

3. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f1(x), f2(x), …, fn(x), заданных на отрезке [a; b], равен сумме определенных интегралов от этих функций:

b

b

b

b

( f1(x) f2(x) ... fn(x))dx f1(x)dx f2(x)dx ... fn(x)dx.

a a a a

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

b b

kf (x)dx k f (x)dx.

a

a

ba

5.f (x)dx f (x)dx

ab

b

c

b

6. f (x)dx f (x)dx f (x)dx, где a < c < b.

a

a

c

b

7. Если f(x) 0 на отрезке [a; b], то f (x)dx 0; если f(x) 0

a

b

на отрезке [a; b], то f (x)dx 0.

a

8. Если m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b]: m f(x) M, то

b

m(b a) f (x)dx M(b a).

a

b b

9. Если f(x) g(x) на отрезке [a; b], то f (x)dx g(x)dx.

a а

10.Определенный интеграл от непрерывной функции

65

равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке х=с отрезка интегрирования [a; b] на длину этого отрезка (теорема о среднем):

b

b		f (x)dx		, с a;b .
f(x)dx f (c)(b a) или	f (c)	a
			b a
a

bb

11.f (x)dx f (x)dx.

aa

	x	/
12.			f (x).
	f (t)dt
	a	x

8.2. Основные методы интегрирования

8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x) в том случае, когда может быть найдена ее первообразная F(x) служит формула Ньютона-

Лейбница:

b

f (x)dx F(x)|ba F(b) F(a),

a

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования используют формулу

	а		а
		f (x)dx 2 f (x)dx,если f (x) четная функция,
	a		0
		0	,если f (x) нечетная функция.

Пример. Вычислить определенные интегралы.

66

4	x					x2		x			4
1) 3х e		4	dx		3		4e		4			(24 4e) (0 4) 28 4e.
						2
0											0
2						2
2) cosxdx sin x
						sin			sin0 1 0 1.
								2
0					0

8.2.2. Метод подстановки

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (метод подстановки) данный интеграл преобразуется с помощью подстановки t= (x) или x= (t) в определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования t. При этом старые пределы интегрирования a, b заменяются новыми переделами интегрирования и соответственно, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: = (a), = (b). Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений ( )=a, ( )=b относительно и .

Таким образом, имеем

b

f (x)dx f ( (t)) '(t)dt.

a

Здесь предполагается, что функции (t) и ΄(t) непрерывны на отрезке [ ; ], а функция f( (t)) определена и непрерывна на отрезке t .

Пример. Вычислим методом подстановки интеграл

3

2x 1 3dx.

2

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки t=2x–1. Дифференцируя, получим dt=2dx, откуда dx=dt/2. Находим новые пределы интегрирования: подставляем в соотношение t=2x–1 значения x=2, х=3. Тогда получим α=3, β=5. Следовательно,

67

3	1	5	1		t4			5		1
(2x 1)3dx		t3dt									(54 34) 68.
	2		2		4			3		8
2		3

В дальнейшем при решении методом подстановки будем использовать форму записи как в неопределенном интеграле, используя вертикальные скобки.

8.2.3. Интегрирование по частям

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то для вычисления

определенного				интеграла	используют	формулу
b			b
udv uv		ab	vdu,	которая	называется	формулой

a a

интегрирования по частям для определенного интеграла.

e

Пример. Вычислить интеграл (x 1)ln xdx .

1

Решение.

Положим

u ln x,dv (x 1)dx.

Тогда

du

dx

,

x2

x

v (x 1)dx

x По формуле интегрирования по частям

2

имеем

e

e

e

x2

e

x2

dx e2

x2

e2 5

.

(x 1)lnxdx

x

x

e 0

x

2

lnx

2

4

4

1

1

1

2

x

1

8.3. Примеры

№1. Используя формулу интегралы:

	2				dx
а)										;
				5 4x x				2
	4
	8
б)	(				3		)dx;
			2x			x
	0

Ньютона-Лейбница, найти

	3
в)	2x 3xdx;
	0
	2
г)	sin2xdx.
	0

68

Решение.

а) Для нахождения первообразной проведем преобразования, чтобы получить табличный интеграл (в подкоренном выражении выделим полный квадрат):

2		dx			2						dx			2			d(x 2)
		5 4x x	2					9 (x 2)				2				3	2	2
4					4									4			(x 2)
									2				2
arcsin0 arcsin											arcsin			.
									3				3

	arcsin	x 2			2
		3
					4

б)

в)

г)

а)

	8																				8																	8																	8				1				8						1
			(										3					)dx																																						x			2		dx		x						3		dx
									2x								x											2xdx 3																	xdx										2
	0																				0																	0																	0								0
							x32					8					x43						8						2									3												3					4
																																2
		2																																			(8	2 0)														(8 3 0)
						3										4										3																								4
													0										0
								2								3
	2		2				292							3	24									2	2		24											2						3			16						64					12 21							1			12 33					1	.
	3																																											4
													4													3																													3								3						3
	3															3											6			x							3					6		3					6		0							216				1								215
			2x						3х dx 6х dx																																																															.
																												ln6														ln6							ln6
	0															0																					0																					ln6				ln6								ln6
																			1																						1																							1
	2																													2
	sin 2xdx																			cos 2x																							(cos cos 0)																									( 1 1) 1
	0															2														0								2																									2

.

№2. Вычислить интегралы методом подстановки:

	2			dx				;
а)
				4 x
	0
	4
					1		tg x
б)										dx;
					cos		2
			4					x

в)

г)

2

dx

1 xx2 x 1 ;

2 exdx

1 ex 5 .

Решение.

								4 x t
2		dx								x 2	t 2	2	dt		4		dt					4
						dt d(4 x) dx														2	t		2
0		4 x								x 0	t 4	4		t	2			t
		2(						dx dt
					4		2) 4 2 2

69

		4													t tg x,								x				t 1
					1 tg x																							1
б)											dx						dx					4							1 t dt
						2
		4		cos				x						dt						,			x				t 1	1
																	cos2
																			x			4
	2							1				2				0)		4
													(2								2
			(1 t)3
															2
3								1		3									3

в)

1

2

1

	2													x		1										x 2				t	1					2							dt
																																													2
					dx												t															2				1							t
					2
	1		x x				x 1					dx							dt							x 1				t 1						1			1			1								1	1
																		2
																			t																				t			t2								t
																1
		dt									d t																																					1
																												ln		t 1							t2 t 1														ln			3 2 3
																2
							1
																															2																							2
	t2 t 1						12						1		2											2																													7
																								3																								12
									t
													2									2

2 exdx

t ex 5

x 2

t e2 5

e2 5dt

t

e2 5

г)

ln

1 ex 5

dt exdx

x 1

t e 5

e 5 t

e 5

ln|e2 5| ln|e 5| ln

e2 5

.

e 5

№3. Вычислить интегралы, применяя

формулу

интегрирования по частям:

e4

6

ln xdx;

а)

х

б)

(2 x)sin3xdx.

1

0

Решение.

u ln x, dv

dx

e4

х

2

e4

2e4

dx

а)

хln xdx

dx

2

x

xln x

x x

1

du

,

v

x x

3

1

3 1

x

x

3

2

6

2e4

8

6

2

2

e4

8

6

4

6

4

e

xdx

e

x

x

e

e

4

3

3

1

3

3 3

1

3

9

9

70