Matematika_Praktikum

(Это аптечка состава H1). В двух других аптечках (состава Н2) – по 8 зеленых и 2 желтых таблеток. В одной аптечке (состава H3) – 2 зеленых и 8 желтых таблеток. Наудачу выбирается аптечка и из нее извлекается таблетка, которая оказалась зеленой. Какова вероятность того, что зеленая таблетка извлечена из аптечки первого состава?

№11.9.6. Лабораторное животное либо здорово (с вероятностью 0,9), либо нет. Если животное здорово, то оно может выполнить некоторое задание в 75% всех попыток. Если животное нездорово, то оно способно выполнить это задание лишь в 40% всех попыток. Допустим, что предпринимается попытка и животное не справляется с заданием. Какова вероятность того, что животное здорово?

№12.7. Одна вакцина формирует иммунитет против краснухи

в95% случаев. Предположим, что вакцинировалось 30% популяции. Предположим также, что вероятность заболеть краснухой у вакцинированного человека без иммунитета такая же, как и у невакцинированного. Какова вероятность того, что человек, заболевший краснухой, был вакцинирован?

№12.8. Некоторое заболевание, встречающееся у 5% населения, с трудом поддается диагностике. Один грубый тест на это заболевание дает положительный результат (указывающий на наличие заболевания) в 60% случаев, когда пациент действительно болен, и в 30% случаев, когда у пациента нет этого заболевания. Пусть для конкретного пациента этот тест дает положительный результат. Какова вероятность, что у него есть это заболевание?

№12.9. В некоторой большой популяции число черноволосых и рыжих одинаково. Замечено, что у 30% людей с черными волосами глаза голубые, так же как и у 50% людей с рыжими волосами. Из тех, у кого черные или рыжие волосы, случайно выбирают одного человека и оказывается, что у него голубые глаза. Какова вероятность того, что у этого человека черные волосы?

№12.10. На одном производстве было установлено, что 3% рабочих являются алкоголиками с показателем прогулов втрое выше, чем у остальных рабочих. Если случайно выбранный

141

рабочий отсутствует на работе, то какова вероятность того, что он алкоголик?

№12.11. В эксперименте живой амебе пересаживают ядро от одной, цитоплазму от второй и внешнюю оболочку от третьей амебы. Если все компоненты берут из одного и того же штамма, то около 85% воспроизводятся нормально. Если компоненты берут из различных штаммов амебы, то нормально воспроизводится лишь 1%. Допустим, что из одного и того же штамма и из разных штаммов было собрано одинаковое число амеб. Если выбирают наудачу одну из этих амеб и она воспроизводится нормально, то какова вероятность того, что ее компоненты брались из одного штамма?

№12.12. Лабораторная крыса обучается выполнению четырех заданий за ограниченное время в 5 мин каждое. Когда задание выполняется в пределах отведенного времени, нажатие крысой на рычаг приводит к получению порции пищи. Вероятности успешного выполнения заданий за отведенное время соответственно составляют 0,8; 0,6; 0,4; 0,2. Предположим, что крыса начинает выполнять случайно выбранное задание и через 5 мин обнаруживается, что она получила пищу. Какова вероятность того, что крыса выполнила первое задание? второе задание?

№12.13. Экспериментальные мыши содержатся в двух клетках. В первой клетке содержится 5 коричневых и 6 белых мышей, а во второй – 2 коричневые и 5 белых. Случайным образом выбирают клетку и на нее наугад извлекают одну мышь. Если эта мышь коричневая, то какова вероятность того, что она извлечена из второй клетки?

№12.14. Для проверки контагиозности нескольких штаммов бактерий большое число морских свинок содержалось парами в отдельных клетках. По одной из каждой пары свинок заражалось штаммом I, II или III (по каждому штамму бралось равное количество морских свинок). Установлено, что доли здоровых свинок, заразившихся от своих соседей, равны 1/3, 1/4 и 3/4. В выбранной наугад клетке обе свинки оказываются зараженными. Каковы вероятности того, что заражение вызвано штаммами I, II

иIII?

№12.15. В одной большой частной лечебнице согласно оценкам 50% мужчин и 30% женщин имеют серьезные

142

нарушения сердечной деятельности. В этой лечебнице женщин вдвое больше, чем мужчин. У случайно выбранного пациента оказалось серьезное нарушение сердечной деятельности. Какова вероятность, что этот пациент — мужчина?

№12.16. Большая популяция разбита на две группы одинаковой численности. Одна группа придерживалась специальной диеты с высоким содержанием ненасыщенных жиров, а контрольная группа питалась по обычной диете, богатой насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составляло в этих группах соответственно 31 и 48%, Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит контрольной группе?

№11.9.17. Краснуха может оказаться причиной серьезных врожденных пороков развития у детей, если мать заболевает ею на ранних стадиях беременности. Вероятность пороков оценивается как 45, 20 и 5%, если заболевание происходит соответственно на первом, втором и третьем месяцах беременности. Предположим, что вероятность заболеть краснухой одна и та же на любом месяце беременности и что ребенок рождается с серьезными пороками по причине краснухи. Какова вероятность того, что мать заболела краснухой на первом месяце беременности?

№12.18. Установлено, что курящие мужчины в возрасте свыше 40 лет умирают от рака легких в 10 раз чаще, чем некурящие мужчины. В предположении, что 65% этой популяции курящие, какова вероятность того, что мужчина, умерший от рака легких, был не курящим?

№12.19. а) Вероятность того, что американский лось переносит зиму, оценивается в 80%, если лось здоров, и в 30%, если лось болен. Если в популяции больны 20% лосей, то какая доля популяции перенесет зиму?

б) Если волки убивают 80% здоровых и 70% больных лосей из тех, что не выживают за зиму, то какую долю убитые волками за зиму лоси составляют во всей популяции?

№12.20. Редкое заболевание встречается у 0,1% населения и с трудом поддается диагностике. Один грубый тест на это

143

заболевание дает положительный результат (указывающий на наличие заболевания) в 75% случаев, когда у пациента это заболевание есть, и в 25% случаев, когда его нет. Допустим, что тест дает положительный результат, для случайно выбранного человека. Тогда тест проводят вторично и получают отрицательный результат. В предположении, что результаты теста независимы, какова вероятность, что у этого человека имеется заболевание?

№12.21. Установлено, что в среднем один из 700 детей мужского пола рождается с лишней Y-хромосомой и что у таких детей крайне агрессивное поведение встречается в 20 раз чаще. Опираясь на эти данные, представьте, что у мальчика крайне агрессивное поведение. Какова вероятность того, что ребенок имеет лишнюю Y-хромосому?

№12.22. Из 20 студентов. пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 - хорошо, 4 - посредственно и 2 - плохо.

Вэкзаменационных билетах имеется 40 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все вопросы, хорошо - 35. посредственно - 25 и плохо - 10 вопросов. Некоторый студент ответил на все 3 вопроса билета, Найдите вероятность того, что он подготовлен: а) хорошо; б) плохо.

№12.23. Одна вакцина формирует иммунитет против краснухи в 95% случаев. Предположим, что вакцинировалось 30% населения. Предположим также, что вероятность заболеть краснухой у вакцинированного человека без иммунитета такая же, как и у не вакцинированного. Какова вероятность того, что человек, заболевший краснухой вакцинирован?

№12.24. На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году — с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе — в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом?

№12.25. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем один шар из урны 1; в противном случае - из урны 2. Урна 1 содержит 3 красных и 1 белый шар.

144

Урна 2 содержит 1 красный и 3 белых шара. а) Какова вероятность того, что вынутый шар красный? б) Какова вероятность того, что шар вынимался из первой урны, если он оказался красным?

11.10. Формулы Бернулли, Пуассона и МуавраЛапласа

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются

независимыми относительно события А.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит ровно r раз (безразлично, в какой последовательности), равна

Pn (r ) C nr prqn r ,

	n!
P (r )		prqn r ,
n	r!(n r )!

где q=1-p.

Вероятность того, что событие наступит: а) менее r раз; б) более r раз; в) не менее r раз; г) не более r раз – находят соответственно по формулам:

а) Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(r-1);

б) Pn(r+1)+Pn(r+2)+…+Pn(n);

в) Pn(r)+Pn(r+1)+…+Pn(n);

г) Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(r).

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то пользуются приближенной формулой

Pn(k ) ke , k!

где k – число появления события в n независимых испытаниях,=np (среднее число появления события в n испытаниях) и

145

говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример 29. Вероятность рождения мальчика 0.515. В семье 6 детей. Найти вероятность того, что из них:

а) ровно три девочки, б) не более трех девочек,

в) не менее двух, но не более четырех девочек.

Решение:

а)	P6,3 С63										0.4853 0.5153 20 0.114 0.137 0.31
C3		6!								2 3 4 5 6							20
6		3!3!											2 3 2 3
б)
P	C			0		0.4850 0.5156												1 0.5156 0.019
6,0				6
C0		6!							1
6			0! 6!
С61		6!									5! 6			6
		1! 5!									1 5!
С2			6!										2 3 4 5 6				5 3 15
6			2! 4!										2 2 3 4
P	C			2		0.4852 0.5154												15 0.4852 0.5154	0.248
6,2				6
P P6,0				P6,1 P6,2 P6,3														0,019 0,105 0,248 0,31 0,68
в)P			P6,2								P6,3 P6,4 0.248 0.31 0.22 0.78
P	C			4		0.4854 0.5152												15 0.4854 0.5152	0.22
6,4				6
C64			6!										2 3 4 5 6				15
			4! 2!										2 3 4 2

Пример 30. «Средний» человек с вероятностью 3/5 выполняет определенное задание за 1 мин. Предположим, что задание выполнялось 10 людьми. Какова вероятность ровно семи успешных выполнений задания за 1 мин?

Решение. Здесь n = 10, k = 7, р = 3/5. Значит,

P C	7	3		7		2		3
								0.215
			5
10						5

Пример 31. Предположим, что скрещиваются мышь-альбинос и мышь гомозиготного нормального типа (цветная). Какова вероятность двух альбиносов из шести мышей во втором поколении?

Решение. В первом поколении все мыши будут цветными, так как ген альбинизма рецессивен. Легко видеть, что во втором

146

поколении цветными окажутся 3/4 всех мышей. Поскольку все первое поколение имеет тип Сс, скрещивание Сс и Сс с равными вероятностями дает СС, Сс, сС и сс, причем лишь потомство сс является альбиносами. Таким образом, Р (альбинос) = 1/4 и задача сводится к распределению Бернулли при n = 6, k = 2 и р= 1/4. Искомая вероятность есть

2	1		2		3		4
P C6							0.297
		4
					4

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями, поэтому при больших n используют приближённую формулу Пуассона

	Рn(m)=	m *е	, где np
		m!

Эту формулу применяют в случае, когда n несколько десятков и более, а произведение np<10 в случае, когда n велико, а np 10, то формула Пуассона даёт очень грубое приближение, и для расчётов вероятности используют формулу Муавра-Лапласа.

Если число испытаний n достаточно велико (n 100),произведение npq 20, то вероятность Рn(m) можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа

Рn(m)=

1

* (х),

где х=

m

np

(х)=

1

х2

,

*e 2 – функция

npq

npq

2

Гаусса(х) – чётная.

В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов лежит между m1 и m2 можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа

Рn(m1 m m2)=Ф0(х2)–Ф0(х1),

где х1=

m1

np

, х2=

m2

np

,

npq

npq

1

х

t2

* е

Ф0(х)=

2 dt – функция Лапласа, Ф0(х) – нечетная.

2

0

Функцию Ф(x) называют функцией Лапласа или интегралом вероятности. Значение интеграла для различных вычислены и

147

приведены в таблицах, причем только для . Для нахождения Ф(x) функции для отрицательных значений пользуются той же таблицей, учитывая, что Ф(x)- нечетная функция, т.е. Кроме того, в таблице приведены значения лишь до =4, так как для можно принять

Поэтому вычисление вероятности сводится к расчету и дальнейшему определению по таблице

Завод отправил в магазин 5000 ампул с лекарством. Вероятность того, что в пути ампула разобьется, равно 0,0004. Найти вероятность того, что в пути повредится: а) равно 3 ампулы; б) не более 2 ампул.

Решение:

а) Рассматривая транспортировка каждой ампулы как отдельное испытание, можем утверждать, что производится n=5000 повторных испытаний. Пусть событие А – повреждение ампулы в пути . Так как вероятности наступления события А в каждом испытании одинаковы(p=0,0004),то эти испытания независимы. А значит, для вычисления вероятности повреждения в пути равно 3 ампул можно использовать формулу Бернулли:

Расчет вероятности по этой формуле достаточно сложен, поэтому воспользуемся приближенной формулой Пуассона. Так как p=0,0004< 0,1 и npq=5000 ·0,0004·0,9994≈2<10, поэтому:

где λ=n·p=5000·0,0004=2 – среднее число появления события А в 5000 испытаний.

б) Событие (m2) является суммой трех несовместимых событий (m=0), (m=1) и (m=2).

Следовательно, P(m2)=P(m=0)+ P(m=1)+ P(m=2)=

P5000(0)+P5000(1)+P5000(2)≈(1+2+2)0,135·5 ≈0,677

148

Пример 33. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном м3 воздуха равна 10. Берем на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в них будет обнаружен хотя бы один болезнетворный микроб.

Решение:

1 дм3 = 0,001 м3. 2 дм3 = 0,002 м3.

3

Вероятность присутствия 1 микроба в 2 дм3: 1м 500

0,002м3

p 10 1 0,02 500 50

Количество испытаний: 10 Среднее число появлений событий А (1 микроба) в 10

испытаниях: np 10 0.02 0.2 Используем формулу Пуассона

P 1 P		m 0	1	0 e .02	1 e 0.2	0.1813
n 10, m 1	n 10,		0!

Некоторое редкое заболевание встречается у 0.1% населения. Какова вероятность того, что это заболевание окажется у 4 человек из случайно отобранных 5000 человек?

Решение:

Вероятность заболевания р=0.001. n=5000. По формуле Пуассона

P5000,4 54 e 5 0.175

4!

np 5000 0.001 5

По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более ,чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Решение:

а) вероятность того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Т.к. n= 1000 велико (условие npq=1000*0,87*0,13=113,1≥20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Лапласа. Вначале определим по

149

Теперь по формуле

б) По формуле

Т. к. неравенство		равносильно неравенству

, что от 0,83 до 0,91 новорожденных из 1000 доживут

до 50 лет.

Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 100 высеянных семян взойдет: а) равно 90; б) от76 до 90 семян.

Решение:

а) Пусть событие А – семя взошло. Рассматривая посев каждого семени как отдельное испытание, можно сказать, что проводится 100 независимых испытаний (в каждом из них событие А наступает с постоянной вероятностью p = p(A) = 0,8). По формуле Бернулли имеем:

Понятно, что непосредственный расчет по этой формуле окажется трудным. В данной задаче произведение npq равно:

поэтому можно воспользоваться приближенной локальной формулой Лапласа:

По таблице значений функции		найдем:

.

Тогда

б) Обозначим как (7690) событие, заключающееся в том, что число m взошедших семян заключено между 76 и 90. Если для вычисления вероятности этого события использовать формулу Бернулли, то придется считать следующую сумму вероятностей:

150