Matematika_Praktikum

Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется с помощью формулы

= n(n – 1)(n – 2)....(n – m +1) = n! .

(n m)!

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Искомое число сигналов A62 = 6•5 = 30.

Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n.

Как видно из определений 1 и 2, перестановки можно считать частным случаем размещений при m = n. Следовательно, число всех перестановок из п элементов вычисляется по формуле

Перестановки состоят из одних и тех же различных элементов и отличаются друг от друга только порядком их следования.

Для лечения заболевания применяют три лекарства. Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется различных порядков назначения этих лекарств?

Имеется различных порядков назначения трех лекарств.

Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в

сочетаниях не учитывается порядок элементов.

Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле

Влабораторной клетке содержат трех белых и трех коричневых мышей. Найти число способов выбора двух мышей, если они могут быть любого цвета.

Вданном случае цвет не существен. Поэтому имеется

121

15 способов, которыми две мыши можно выбрать из шести.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо A либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

12.3. Вероятность случайного события

Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.

Классическое определение вероятности события А:

Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А (m), к общему числу случаев

(n).

У кабинета дежурного психотерапевта ожидают приема трое больных. Врачу известно по медицинским карточкам, что один из ожидающих, по фамилии Петров, болел в прошлом маниакальнодепрессивным психозом. Врач интересуется этим больным, но не хочет вне очереди вызывать его в кабинет.

Обозначим как событие А тот факт, что в кабинет врача входит больной Петров; как событие В обозначим то, что входит другой больной — Сидоров и как событие С — входит Иванов. События А, В и С —

122

рис. 12.1

несовместимые и образуют полную группу (предполагается, что к врачу больные входят по одному). Так как появиться согласно очереди может равновероятно любой из больных, то до начала приема вероятность появиться первым в кабинете врача для

одного из больных, в том числе для Петрова, равна 1 .

3

При составлении команды космического корабля возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, что надо составить команду из трех человек: командира, инженера и врача. На место командира есть три кандидата a1, a2, a3; на место инженера — четыре кандидата — b1, b2, b3, b4; на место врача — два кандидата c1, c2. Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира a2 с инженерами b3, b4 и с врачом c2, а также инженера b2 с врачом c2. Будем для простоты считать, что без учета фактора несовместимости все варианты составления команды равновозможны. Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все члены которого психологически совместимы друг с другом.

Представим все варианты состава, при которых члены экипажа совместимы друг с другом в виде «дерева» (рис. 12.1). Число ветвей этого дерева, т. е. исходов, благоприятствующих событию А, равно 16, а общее число возможных комбинаций по правилу умножения равно произведению 4•3•2=24. Искомая вероятность

p(A) 16 2 . 24 3

Лабораторная крыса, помещенная в лабиринт, должна избрать один из пяти возможных путей. Лишь один из них ведет к поощрению в виде пище. В предположении, что крыса с одинаковой вероятностью изберет любой путь, какова вероятность выбранного пути, ведущего к пище?

Решение: 1

5

Подбрасываются 2 монеты. Какова вероятность, что обе упадут "гербом" кверху?

Решение: 4 исхода бросания двух монет: ГГ, ГР, РГ, PP.

123

Пусть событие А - "выпали 2 герба" - этому событию благоприятствует один исход.

P(A) m 1 0,25. n 4

Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 или 8?

Решение: Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков".

Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Событие B благоприятствует 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).

Всех равновозможных исходов n = 62 = 36.

Итак, Р(А) > Р(В) получить в сумме 7 очков более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

Закон сложения вероятностей

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то сумма А + В означает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + (В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А +В) = Р(A) + P(В) – Р(АВ).

124

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1 или

n

P(Ai ) 1.

i 1

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(A) = 1 ,

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Вероятность того, что некоторые зубы отсутствуют равна 0,24. Вероятность того, что он беззубый равно 0,09. Вычислить вероятность того, что у пациента несколько зубов.

Решение: Р(А +В) = Р(А) + Р(В) = 0,67 + 0,24 = 0,91.

Вероятность попадания в опухолевую клетку "мишень" первого радионуклида равна Р(A1) = 0,7, а второго – Р(A2) = 0,8. Найти вероятность попадания в клетку-"мишень", если бы одновременно использовались оба препарата.

Решение: Р(А1 + A2) = Р(А1) + Р(A2) – Р(А1 A2) = 0,7 + 0,8 – 0,56

=0,94.

Вбольшой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% – мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют и мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, наудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из этих мутаций?

Решение: А – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутации глаз. В – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутацию крыльев. Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации: Р(А + В)

=Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Тогда

Р(А + В) = 0,25 + 0,5 – 0,4 0,25 = 0,65.

12.5. Варианты заданий

125

№12.1. В коробке 30 таблеток: 10 красных, 5 желтых, 15 белых. Найти вероятность появления цветной таблетки (т.е. или красной или желтой).

№12.2. В картотеке имеются истории болезней 8 пациентов. Если наугад взять первую, затем вторую, третью и т.д. истории болезней, то какова вероятность в каждом случае изъятия нужной истории болезни? Предполагается, что искомая история болезни имеется в картотеке. Рассмотрите 2 варианта: а) взятые истории болезней не возвращаются в картотеку; б) взятые истории болезней каждый раз возвращаются в картотеку и хаотически располагаются в ней.

№12.3. В коробке имеется 7 желтых и несколько белых таблеток. Какова вероятность вытащить белую таблетку, если

вероятность вытащить желтую таблетку равна 1 .Сколько белых

6

таблеток в коробке?

№12.4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

№12.5. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру, и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что набранная цифра правильная?

№12.6. Одна секретарша напечатала 5 различных писем и надписала 5 конвертов с адресами. Предположим, что она вкладывает письма в конверты случайным образом. Какова вероятность того, что ровно четыре письма будут вложены в конверты с адресами тех лиц, кому они предназначены?

№12.7. Числа от 1 до 100 записывают на полосках бумаги, которые помещают в чашу. После продолжительного встряхивания случайным образом извлекают одну полоску.

а) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на

3?

б) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на

3 и на 5?

№12.8. Профессор выставляет 20 разных оценок за контрольные работы 20 студентов группы и заносит их в компьютер. При распечатке ведомости из-за ошибки в компьютере оценки случайно смешались.

126

а) Какова вероятность того, что каждый студент получит свою верную оценку?

б) Какова вероятность того, что ровно 19 студентов получат свои верные оценки?

№12.9. В клетке содержат 6 белых и 4 серых мыши. Рассмотрим эксперимент, состоящий в случайном извлечении из клетки трех мышей.

а) Опишите пространство выборок этого эксперимента.

б) Вычислите вероятность для четырех возможных комбинаций цвета мышей (3 белых, 2 белых и 1 серая и т.д.).

№12.10. Из 20 человек, одновременно заболевших гриппом, 15 выздоровели полностью за три дня. Предположим, что из этих 20 человек случайным образом выбиралось 5. Какова вероятность того, что все 5 выздоравливают за три дня? что выздоравливают только 4 человека? что ни один не выздоравливает?

№12.11. Требуется выбрать наудачу 10 человек из группы в 10 мужчин и 10 женщин.

а) Какова вероятность того, что выбрано 10 мужчин?

б) Какова вероятность того, что выбрано больше мужчин, чем женщин?

в) Какова вероятность того, что выбрано по крайней мере 8 мужчин?

№12.12. За игрушечной пишущей машинкой с буквами A, В, С, D и Е сидит шимпанзе. Если шимпанзе печатает четыре случайных буквы, то:

а) какова вероятность того, что окажется напечатанным слово

«BEAD» («шарик»)?

б) какова вероятность того, что все напечатанные буквы одинаковы?

№12.13. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

№12.14. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см3)?

№12.15. Вероятность того, что некий человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?

127

№12.16. При изучении миграций белого медведя девять медведей были помечены числами от 1 до 9. Три медведя отловлены повторно.

а) Пусть Аi обозначает событие, состоящее в том, что i-й отловленный медведь помечен четным числом. Какова вероятность Р(A1), Р(А2), Р(А3)?

б) Найдите события A1+A2 и A1+А2+А3.

№12.17. В ванну, где содержатся 3 рыбы: А, В и С, время от времени помещают кусочки пищи. Каждый раз, когда бросают кусочек, рыбы конкурируют за него. Допустим, что за длительный период было установлено, что А или В добивались

успеха в течение 1 времени, а А или С в течение 3 всего времени

2

4

наблюдения. 1) Какова вероятность того, что добивается успеха рыба A? 2) Какая из рыб накормлена лучше

№12.18. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами болезней. Многолетние наблюдения показали, что этим группам соответствуют относительные частоты 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с частотой 0,1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных

№12.19. Опухоль-"мишень" разделена на три области. При использовании радионуклидного препарата вероятность поражения первой области равна 0,45; второй - 0,35. Найти вероятность того, что при однократном использовании радионуклид попадет либо в первую, либо во вторую область.

№12.20. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков.

№12.21. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов A, В и С. Вероятность получения пакета из города A равна 0,6, а из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

№12.22. С первого предприятия поступило 200 пробирок, из которых 190 стандартных, а со второго - 300, из которых 280 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу взятая пробирка будет стандартной.

128

№12.23. На тридцати историях болезни написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30 (их порядковые номера). Эти истории болезни лежат на полке в случайном порядке. Какова вероятность вынуть историю болезни с номером кратным 2 или

3?

№12.24. В некоторой популяции у 40% людей волосы темные, у 40% — рыжие и у 20% —светлые. В этой популяции у всех темноволосых людей глаза карие, у всех светловолосых — голубые, у одной половины рыжеволосых — голубые, а у другой

— карие. Пусть А1, А2 и А3 — события, состоящие в том, что у человека соответственно темные, рыжие и светлые волосы, и пусть B1 и В2 соответственно обозначают карие и голубые глаза.

а) Найдите Р(А1), Р(B1), Р(В2) и Р(А1+B2).

б) Опишите событие А1+A2+A3. Найдите вероятность этого события.

№12.25. В популяции из 2000 плодовых мушек у 250 особей обнаруживают рецессивный признак крыла W и у 150 - рецессивный признак глаза Е. Предположим, что у 50 мушек обнаруживают оба признака. Для эксперимента по скрещиванию из популяции выбирают одну мушку.

а) Какова вероятность, что у этой мушки будет признак W? E? б) Какова вероятность, что присутствует признак W и E?

в) Вычислите Р(E W ).

12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей

Условная вероятность события В – это вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло. Обозначается Р(В|А).

В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белых таблеток при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие А).

129

Решение: После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых. Искомое условие вероятности: Р(В/А)

=3 = 0,6.

5

Вкоробке находится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекают 3 таблетки. Найти вероятность того, что все 3 таблетки белые.

Решение:

Обозначим; А1 – первая таблетка белая, А2 – вторая таблетка белая, А3 – третья таблетка белая.

Р(A1A2A3)=P(A1)P(A2/A1) P(A3/A1A2);
P(A1)=	6	; P(A2/A1)=				5		; P(A3/A1A2)=						4	;
14					13						12
P(A) = P(A1A2A3)=				6			5			4		5	0,055.
			14
					13				12		91

Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий А и В.

Событие В называются независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В.

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А В)=Р(А) Р(В).

Для зависимых событий:

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приема в кабинете стоматолога, есть все зубы?

Решение: Р(А В) = Р(А) Р(В) = 0,67 0,67 = 0,45.

130