Matematika_Praktikum
.pdf
В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность, что он курит?
Решение: Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М) = 0,3, а Р(МК) = 0,21. Поэтому условная вероятность
Найти вероятность того, что в семьях из двух детей: 1) оба ребенка - мальчики; 2) оба ребенка - девочки; 3) старший ребенок мальчик, а младший - девочка. Вероятность рождения мальчика- 0,515.
Решение:
Р(ММ) = Р(М) Р(М) = 0,515 0,515 = 0,265; Р(ДД) = 0,485 0,485 = 0,235; Р(МД) = 0,515 0,485 = 0,25.
Известно, что в 3 случаях из 250 на свет появляются близнецы, причем в одном случае - это истинные (монозиготные) близнецы. Какова вероятность, что у определенной беременной женщины родятся близнецы мальчик и девочка. Учтите, что однояйцовые близнецы никогда не бывают разных полов - это обязательно либо 2 мальчика, либо 2 девочки.
Решение: Вероятность иметь дизиготных близнецов равна:
P(A)= 3 ;
250
1–P(B)=1 1 2 .
3 3
Искомая вероятность:
Вероятность того, что студент в летнюю сессию сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) все три экзамена.
131
Решение: l) P(B) = P(
A2
) = P(
) P(A2) P(
) = 0,1 0,9 0,2 = 0,018;
2) Р(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(A3) = 0,9 0,9 0,8 = 0,648.
В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?
Решение. Пусть событие А – обследуемый курит, событие В – обследуемый страдает заболеванием легких.
Тогда согласно условию задачи
Так как 0,36 ≠ 0,4, события А и В зависимы.
Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?
Решение. Пусть событие А — первый организм жив через 20 мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т. е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. Получаем:
Р(АВ) = 0,7·0,7 = 0,49.
Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, А2,
...,Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий 
, 
, 
.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.
132
Решение: Вероятность того, что в мишень попадет первый стрелок и не попадет второй, равна:
P(A1
) = 0,7 (1 – 0,8) = 0,7 0,2 = 0,14.
Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первый, равна:
P(
A2 ) = (1 – 0,7) 0,8 = 0,3 0,8 = 0,24.
Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:
P(A1
) + P(
A2 ) = 0,14 + 0,24 = 0,38.
Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки 0,5).
Решение: Пусть вероятность того, что все девочки:
Вероятность того, что не все девочки:
1 n
P(хотя бы один мальчик) = 1 0,9.
2
12.7. Варианты заданий
№12.1. В одном аквариуме находятся: 3 белые, 3 красные и 3 голубые рыбки. Трех случайно выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что все 3 рыбки белые?
№12.2. Студент изучает биологию, химию и физику. Он оценивает, что вероятность получить "пятерку" по этим
предметам равна соответственно: Р(Б) = |
1 |
; Р(X) = |
1 |
; Р(Ф) = |
1 |
. |
|
|
|||||
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
Предположим, что оценки студента по трем предметам независимы. Какова вероятность, что он: 1) Не получит ни одной "пятерки"? 2) Получит "пятерку" только по биологии?
№ 12.3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке - 7 учебников по химии, из которых три - в переплете. Было
133
вытащено наудачу 2 учебника. Какова вероятность, что оба учебника будут в переплете?
№12.4. На лекции по биофизике во втором семестре присутствуют 124 студента. Из них на экзамене по высшей математике в зимнюю сессию получили оценку "отлично" 19 человек, "хорошо" – 50 человек, "удовлетворительно" – 24 и не сдали экзамен 31 человек. Какова вероятность того, что вызванные наугад один за другим два студента из числа присутствующих на лекции не имеют задолженности по высшей математике?
№12.5. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только
24.Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
№12.6. Вероятность того, что в течение одного рабочего дня возникнет неполадка в определенном медицинском приборе равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня?
№12.7. Вероятность того, что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен, равна 0,8; второй - 0,9; третий - 0,8. Какова вероятность того, что он сдаст только первый экзамен?
№12.8. В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наудачу по одной таблетке, не возвращая в коробку. Найти вероятность появления белой таблетки при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие A).
№12.9. В коробке содержится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекаются 3 таблетки. Найти вероятность того, что все таблетки белые.
№12.10. Предположим, что в некоторой семье имеются 2 ребенка. 1) Какова вероятность того, что оба ребенка - девочки? 2) Если известно, что, по крайней мере, один ребенок --девочка, то какова вероятность того, что оба ребенка - девочки? 3) Если известно, что старший ребенок -девочка, то какова вероятность, что оба ребенка - девочки?
№12.11. Вероятность того, что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен, равна 0,8; второй - 0,9; третий - 0,8.Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен.
134
№12.12. Отдел технического контроля проверяет медицинское изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
№12.13. Какова вероятность того, что у девочки, о которой известно, что она растет в семье, где четыре ребенка, есть старший брат?
№12.14. а) Сколько должна планировать супружеская пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90%?
б) Сколько должна планировать супружеская пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика и одной девочки была выше 70%?
№12.15. а) Найдите вероятность того, что в семье из шестерых детей три мальчика и три девочки.
б) Найдите вероятность того, что в семье из шестерых детей все дети одного и того же пола.
№12.16. Представим, что в одной семье есть восемь детей — четыре мальчика и четыре девочки. Какова вероятность того, что старший ребенок – мальчик? Какова вероятность того, что все четыре мальчика старше четырех девочек?
№12.17. У пары три ребенка. Определим события А (первый ребенок – девочка), В (второй ребенок – мальчик), С (третий ребенок – мальчик), D (первые два ребенка – мальчики) и Е (хотя бы один ребенок –мальчик).
а) Вычислите вероятности этих пяти событий.
б) Являются ли независимыми А и D; А и Е; В и E? в) Являются ли независимыми события В, С и E?
№12.18. Некоторая вакцина эффективна на 75% в формировании иммунитета. Вакцинировалось два человека. Пусть А и В — события, состоящие в том, что соответственно первый и второй человек приобретает иммунитет. Являются ли независимыми А и В; А и B ; A и В; A и B ? Найти вероятности этих пар событий.
№12.19. Три врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что 1-ый врач допустит ошибку при установлении диагноза, равна 0,01. Для 2-
135
го и 3-го – 0,015 0,02 соответственно. Найти вероятность того, что хотя бы один из врачей допустит ошибку в диагнозе.
№12.20. Три крысы обучаются выполнению трех различных заданий (по одной крысе на каждое задание). Вероятности того, что крысы выполняют свои задания за 1 мин, составляют соответственно 2/3, 1/2 и 1/3. Какова вероятность того, что все три крысы выполнят свои задания за 1 мин? Что выполнят только две? Что выполнят хотя бы две?
№12.21. В одном городе вероятность грозы в любой данный день в течение августа составляет 0,25, а вероятность града — 0,1. Вероятность града во время грозы равна 0,3.
а) Являются ли независимыми события «град» и «гроза»? б) Какова вероятность града в такой день, когда нет грозы?
№12.22. На трех фермах A, В и С произошла вспышка заболевания ящуром. Доля зараженного скота составляют соответственно 1/6, 1/4 и 1/3. Из каждой фермы случайным образом выбирают по одной корове.
а) Какова вероятность того, что заболевание имеется только у одной коровы?
б) Если заражена только одна корова, то какова вероятность, что эта корова выбрана из фермы A?
№12.23. Медицинский прибор проходит 3 стадии обработки. Вероятность получения брака на первой стадии равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения прибора без брака после 3 стадий, предполагая, что получения брака на отдельных стадиях являются независимыми событиями.
№12.24. Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2?
№12.25. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках.
12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
136
Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1, B2, ..., Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
(формула полной вероятности).
Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие B1) равна Р(B1) = 0,4, по интегральному исчислению (событие В2) — Р(В2) = 0,6. Если событие А означает, что задача решена, то РB1(А) = 0,9, РВ2(А) = 0,5. Теперь по формуле полной вероятности имеем:
Р(А) = 0,4·0,9 + 0,6·0,5 = 0,36 + 0,3 = 0,66.
Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?
Решение. Обозначим В1 — выбор первого ящика, В2 — выбор второго ящика, В3 — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.
Так как все ящики одинаковы, то Р(В1) = Р(B2) = Р(В3) = 1 .
3
Если выбран первый ящик, то |
PB1 |
(A) |
2 |
. Аналогично |
PB2 |
(A) |
3 |
, |
|||
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
||
PB3 |
(A) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, по формуле полной вероятности получаем:
137
В санатории 30% пациентов – мужчины (М) и 70% – женщины (Ж). Сердечные болезни среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность, что наугад выбранный пациент сердечник?
Решение. Обозначив С – наличие сердечного заболевания,
можно написать Р(М) = 0,3, Р(Ж) =0,7, РМ(С) = 2 , РЖ(С) = 1 .
3 3
Подставляя это в формулу полной вероятности G), получим
Формула Байеса применяется, когда событие A, которое может появиться только с одной из гипотез H1, H2 ,..., Нn, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р(H1), Р(H2),
..., Р(Hn), известных до испытания, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез P(H1/A), P(H2/A),..., Р(Hn/А):
Или вместо Р(А) используем ее значение, вычисленное по формуле полной вероятности:
Итак, пусть до опыта имеются гипотезы H1 ,H2, ..., Нn. После опыта становится известной информация о результатах опыта, но не полная, а именно: результаты наблюдений показывают, что наступило некоторое событие.
Считается, что до опыта были известны (априорные) вероятности гипотез Р(H1),Р(H2), ...,Р(Нn) и условные вероятности P(A/H1), P(A/H2),..., Р(A/Hn). Необходимо определить апостериорные вероятности гипотез P(H1/A), P(H2/A),..., Р(Hn/А).
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход называется байесовским.
138
