Тема 8. Сложное движение точки.

§ 1. Понятия и определения.

Существуют задачи, в которых изучается движение точки в системе координат X,Y,Z, которая сама вместе с точкой движется относительно другой системы координат X₀,Y₀,Z₀, принимаемой за неподвижную. В этом случае говорят о составном (сложном) движении точки.

Подвижную систему координат XYZ называют переносной. Неподвижную систему координат X₀Y₀Z₀ называют абсолютной. Движение точки относительно переносной системы координат называется относительным. Движение точки вместе с переносной системой координат называется переносным. Движение точки относительно абсолютной системы координат называется абсолютным.

На рис.42 показан пример сложного движения точки. Точка М движется по радиусу диска от центра к периферии. Относительное движение - прямолинейное. Диск вместе с точкой вращается вокруг центра О. Переносное движение - вращательное. Траектория точки в переносном движении - окружность.

Абсолютная же траектория точки в абсолютной системе координат X₀Y₀-плоская спираль.

При изучении сложного движения точки удобно пользоваться следующим очевидным правилом:

Если в сложном (составном) движении мысленно остановить одно из составляющих движений (относительное или переносное), то оставшееся движение становится абсолютным.

Установим связь между абсолютными, относительными и переносными скоростями и ускорениями точки.

Предварительно рассмотрим особенности дифференцирования векторов в подвижной системе координат и введём понятие относительной производной вектора. Рассмотрим это на примере плоской задачи.

Пусть система координат XOY

вращается относительно неподвижной

системы координат X₀OY₀ с угловой

скоростью (рис.43).

Представим вектор в этих осях:

на X₀OY₀: а)

на XOY: б)

Выполним дифференцирование вектора

по времени в разных системах координат,

учитывая, что единичные вектора инеизменны, аиповорачиваются, следовательно переменны.

В координатах X₀OY₀: a’)

В координатах XOY: б’)

Замечаем, что результат дифференцирования вектора в неподвижной и подвижной системах координат различен.

Величину называют относительной производной вектора

Рассмотрим кинематический смысл второй пары слагаемых в выражении б’).

скорость конца вектора при его вращении, т.е.

аналогично:

Таким образом:

Окончательно выражение б’ можно переписать в таком виде:

.

§ 2. Теорема о скоростях точки при сложном движении.

Пусть точка М движется относительно

подвижной системы координат XOY со

скоростью . Пусть сама система

координат XOY вместе с точкой М

движется относительно абсолютной

системы координат, имея скорость

точки О и угловую скорость .

Определим движение точек М и О

их радиусами-векторами ив абсолютной системе координат и- в подвижной (рис.44).

Из рисунка: .

Выражение для абсолютной скорости получим дифференцированием этого выражения. При этом учтём, что вектор определён в подвижной системе координат .

В полученном выражении:

- относительная скорость точки М.

- абсолютная скорость точки О подвижной системы координат.

- вращательная скорость точки М подвижной системы координат.

Таким образом, ,

где -переносная скорость точки М.

Окончательно: .

Доказана теорема:

Абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.