Тема 11. Колебания материальной точки.

§ 1. Введение

Под колебаниями понимают движение относительно некоторого среднего положения, обладающее повторяемостью.

Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях науки ( в механике, в акустике, в электронике и т.д.) имеют различную физическую сущность, они подчиняются одинаковым закономерностям и описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Механические колебания происходят под действием восстанавливающей силы, пытающейся вернуть колеблющийся материальный объект к равновесному положению. В качестве восстанавливающей силы может служить неуравновешенная составляющая силы тяжести, сила деформированной пружины и др.

Кроме восстанавливающей силы в процессе механических колебаний могут действовать и другие силы, например:

- сила вязкости среды;

- дополнительная внешняя сила; наибольший технический интерес представляет случай, когда эта сила носит периодический характер и называется вынуждающей силой.

В зависимости от набора этих сил различают:

1. Свободные колебания, происходящие под действием только восстанавливающей силы.

2. Свободные затухающие колебания, когда свободные колебания происходят в вязкой среде.

3. Вынужденные колебания, происходящие под действием восстанавливающей и вынуждающей сил без учёта или с учётом сил вязкости.

§ 2. Свободные колебания материальной точки (без учёта сил вязкости).

Пусть материальная точка массы m с прикреплённой к ней пружиной жёсткости С установлена на гладком горизонтальном основании.

Рис.48.

Точке сообщены начальное отклонение X₀, начальная скорость V₀ и она совершает движение в положительном направлении оси X .

На материальную точку, в процессе движения её вдоль оси X, будут действовать две силы, направленные против движения:

- восстанавливающая сила пружины F_пр=С  X

- сила вязкого сопротивления F_В=V=,

где  - коэффициент вязкости среды.

Запишем дифференциальное уравнение движения точки:

или

Введём обозначения

Получим:

Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний в каноническом виде.

С математической точки зрения это уравнение является однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения подробно излагается в курсе высшей математики. Напомним, что для решения используется замена Эйлера X=.

После подстановки в уравнение (1) получим характеристическое уравнение ²+2n+k²=0, корни которого определяются выражением

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения (1) будет иметь вид:

(3), где

- постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями движения X₀ и V₀.

Из выражения (2) следует, что в зависимости от соотношения величин n и k (факторов вязкости среды и упругости пружины) корни характеристического уравнения могут быть:

1. При n k - комплексно-сопряжёнными

2. При n k - действительными .

В первом случае, как известно, можно воспользоваться формулами Эйлера и решение дифференциального уравнения в показательной форме (3) можно представить в тригонометрическом виде:

Подставив это решение в исходное дифференциальное уравнение (1) и учитывая, что при t=0; X=X₀; найдём:

(4)

Найденное решение наглядно показывает зависимость движения от начальных условий, коэффициентов вязкости (n) и жёсткости (С) и может успешно применяться при решении многих задач.

Однако, аналитическое выражение в форме(4) затрудняет графическую интерпретацию зависимости X=f(t). Поэтому наряду с выражением(4) часто используют другую его запись. Для этого вводят обозначения:

X₀=A₀sin; , где

После подстановки новых величин в уравнение(4), получим другую его форму:

(5)

Перейдём к анализу полученного решения. Анализ начнём с частного случая движения - отсутствия силы вязкости ().

а) Свободные колебания при отсутствии вязкости.

При , следовательно дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид:(1a),

а его решения соответственно:

Из решения X=f(t) в форме (5а) легко представить его графическую зависимость:

А - амплитуда свободных колебаний;

k - частота свободных колебаний;

 - начальная фаза колебаний;

- период свободных колебаний.

Замечаем, что движение материальной точки под действием только восстанавливающей силы является гармоническим незатухающим колебанием. Частота k и период T незатухающих гармонических колебаний не зависят от начальных условий.

Это свойство гармонических колебаний называется изохронностью и используется в различных технических устройствах (например, для обеспечения равномерного хода часов).

Период колебаний возрастает с увеличением колеблющейся массы и убывает с увеличением коэффициента восстанавливающей силы.

Начальные условия X₀ и V₀ влияют на амплитуду и на начальный характер процесса колебаний.

Примечание 1: Собственную частоту свободных колебаний k можно вычислить, зная статическую деформацию упругого элемента.

F=CY_{с т}

Y_ст

mg

Рис.50.

Действительно, m g=c * y_ст или

Примечание 2. Малые колебания математического маятника в невязкой среде являются незатухающими гармоническими.

Действительно, запишем дифференциальное уравнение

движения материальной точки маятника в проекции на

ось :

Учтём, что S=l и . При малыхsin

Таким образом, получим:

где .

Решение этого уравнения: =Аsin(kt+), где:

б) Свободные колебания при наличии вязкости.

Как показано выше, при наличии вязкости решение дифференциального уравнения (1) представляется решениями (4) и (5). Из рассмотрения решения в форме (5) можно представить графическую зависимость X=f(t). Она представлена на рис.52.

А₀ - начальная амплитуда затухающих колебаний;

Т_з - период затухающих колебаний.

Замечаем, что движение остаётся колебательным, однако на частоту, а следовательно и на период оказала влияние вязкость среды.

.

Наличие в решении множителя е^-nt делает процесс затухающим. Быстроту затухания колебаний оценивают отношением текущих амплитуд А₂/А₁, отстоящих на временной интервал, равный периоду Т_З.

-декремент затухания.

Примечание: Иногда для оценки затухания колебательного процесса используют логарифмический декремент затухания:

.

В заключение коротко остановимся на решении дифференциального уравнения (1) в случае, когда фактор вязкости преобладает над фактором жёсткости восстанавливающей силы(n k). Как указывалось, в этом случае корни характеристического уравнения являются действительными и решение имеет вид:

- для n=k; _1,2=-n

Легко убедиться, что C₁=X₀; C₂=V₀+nX₀.

-для n k ;

где С₁+С₂=X₀; C₁-C₂=.

x

Замечаем, что в обоих случаях процесс остаётся затухающим, но из колебательного превращается в апериодический.

Рис.53.