Тема 13. Введение в динамику системы материальных точек.

§ 1. Основные свойства механической системы.

Наряду с движением отдельных материальных точек, теоретическая механика изучает движение совокупностей материальных точек.

Совокупность материальных точек, находящихся в заданной взаимозависимости называется системой материальных точек или механической системой.

В расширительном понимании под механической системой можно понимать любое механическое устройство любой степени сложности.

В общем случае движение механической системы может сопровождаться изменением взаимного положения материальных точек, изменением её конфигурации.

Механические системы с постоянной по времени внешней и внутренней конфигурацией называются твёрдыми телами.

Массой механической системы называется сумма масс материальных точек, составляющих систему:

М=

Центром масс механической системы называется некоторая геометрическая точка С, радиус-вектор которой определяется выражением:

Рис.56.

или

Примечание: У твёрдых тел центр масс совпадает с их центром тяжести.

При рассмотрении сил, действующих на точки механической системы, их целесообразно разделять на внешние силы() и внутренние силы().

Под внешними силами понимают совокупность задаваемых сил и сил реакции, действующих на точки системы со стороны материальных точек и тел, не входящих в данную систему.

Внутренними силами называются силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы.

Заметим, что в ряде случаев движение материальных точек механической системы, может происходить только за счёт внутренних сил. Так планеты солнечной системы движутся по своим траекториям под действием ньютоновских сил взаимного притяжения. При этом внутренние силы системы обладают двумя важными свойствами:

1. Главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю:

Утверждение этого свойства основано на аксиоме равенства действия и противодействия внутри замкнутой системы сил. (Рис.57).

2. Главный момент всех внутренних сил механической системы равен нулю

Из рис.57 следует, что внутри механической системы каждой силе существует альтернативная сила_no=_in, действующая по той же линии действия.

Таким образом, каждая пара внутренних сил будет иметь одинаковые плечи относительно любого полюса О. Таким образом:

_in+_ni) h _i=_in+(-_in)] h _i=0.

§ 2. Дифференциальное уравнение движения точек механической системы

Пусть задана некоторая механическая

система состоящая из n материальных

точек. Точки системы движутся под

действием системы внешних и внутренних

сил. Разделив механическую систему

условно на отдельные изолированные

материальные точки, движение каждой из

них можно описать соответствующим

уравнением динамики точки:

.... m_n(1)

Система уравнений (1) называется системой дифференциальных уравнений движения точек механической системы(в векторной форме). Замечаем, что в правую часть этих уравнений входят как внешние, так и внутренние силы механической системы.

Такая система уравнений (обычно в координатной форме) записывается в том случае, когда требуется определить характер движения каждой точки и внутренние силы системы.