5. Аксиома равенства действия и противодействия:

Рисунок 5

Всякому действию существует равное и противоположно направленное противодействие.

На основе этой аксиомы вводится понятие сил реакции связей.

§ 3 Связи. Силы реакции связей. Аксиома связей

Материальные точки и твёрдые тела, на свободу перемещений которых в заданном пространстве не наложено каких-либо ограничений, называются свободными. (В качестве примера могут служить полёт снаряда по параболической траектории).

Материальные точки и твёрдые тела, свобода перемещения которых ограничена некоторыми условиями, называются несвободными.

В статике, как правило, в качестве ограничивающих перемещение условий выступают другие тела, с которыми известным способом взаимодействует исследуемое тело.

Тела, накладывающие ограничения на свободу перемещения данного тела, называются связями.

Взаимодействие между заданным телом и его связями проявляется в возникновении сил реакции связей.

Под реакциями связей понимают силы механического действия со стороны связей на рассматриваемое тело (материальную точку).

Равновесие несвободных тел изучается в статике на основании аксиомы связей.

Аксиома связей: Всякое несвободное тело (материальную точку) можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить связи, заменив их действие силами реакции этих связей.

При этом учитывают, что направление векторов сил реакции противоположно тому направлению, котором связь препятствует перемещению данного тела.

В большинстве случаев в статике задача исследования равновесия несвободных тел сводится к определению сил реакции связей. Эта задача может заметно упрощаться, если указан тип связи и, следовательно, уже по чертежу известна точка приложения силы реакции и линия действия силы реакции или её составляющих на выбранные оси координат.

В таблице 1 приведены основные типы связей и направление сил реакции или их составляющих на оси координат.

1. Гладкая поверхность

Реакция N направлена по

нормали к поверхности связи

2. Негладкая (шероховатая поверхность) .

Реакция N нормальна

к поверхности связи.

Реакция F_тр касательна

к поверхности связи.

3. Гибкая нить.

Реакция нити направлена вдоль нити.

на растяжение.

4 Шарнирный стержень .

Реакция стержня направлена

вдоль стержня на растяжение

или сжатие, при условии,

что нет сил действующих на

стержень.

5.Катковая опора.

Реакция катковой опоры нормальна к

катковой плоскости.

6. Цилиндрический шарнир.

7. Сферический шарнир.

Тема 2. Момент силы пара сил.

§ 1. Момент силы относительно точки и оси.

Рис.6.

Представим эксперимент: к телу, закреплённому шарнирно в точке О, приложим силу F, линия действия которой не проходит через точку О. Действие силы сведётся к повороту тела относительно точки закрепления. Интенсивность поворота зависит от величины силы F и расстояния линии действия от точки (плеча h).

В данном случае говорят, что тело поворачивается под действием момента силы, равного произведению силы на плечо:

Мо=F * h

В теоретических рассуждениях моменту силы относительно точки (полюса) придают векторное содержание.

Рис.7.

Моментом силы F относительно полюса О называют вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения на вектор силы: =*

Известно, чтоперпендикулярен и и составляет с ним правую тройку векторов.

Модуль момента силы определяется выражением: Мо=r*F*sin 

Из рис.7.следует,что r * sin  = h, так что Мо=F*h, где h-кратчайшее расстояние от полюса О до линии действия силы (плечо силы).

Таким образом, модуль момента силы относительно полюса определяется уже известным выражением: Мо = F * h

Теперь рассмотрим понятие момента силы относительно оси. Пусть некоторая ось Oz проходит через полюс О, относительно которого сила имеет момент (рис.8).

Пусть между вектором момента

и осью Z образовался угол .

Рис.8.

Моментом силы относительно оси Oz, проходящей через точку О, называют проекцию полярного момента на эту ось: Mz = Mo * cos

Укажем практический способ вычисления момента силы относительно оси. Проведём через точку А приложения силы плоскость, перпендикулярную оси Z и спроектируем на эту плоскость силу F (получим F). Используя точку пересечения плоскости и оси О, рассмотрим два треугольника ОАВ и ОAB. Треугольник OAB является проекцией треугольника ОАВ на построенную нами плоскость, следовательно S oab = S oab * cos , где -угол между перпендикулярами к плоскостям соответствующих треугольников. (Из геометрии: площадь проекции плоской фигуры равна произведению площади проецируемой фигуры на косинус угла между плоскостями).

Но S oab = 0,5 * F * h, a S oab = 0,5 * F * h = 0,5 * Мо.

Таким образом: F * h = F * h * cos  = Mo * cos  = Mz.

Отсюда вытекает правило для вычисления момента силы относительно оси:

Необходимо силу на плоскость, перпендикулярную оси и умножить проекцию силы на кратчайшее расстояние до оси: Mz = F * h

Для осевого момента вводится правило знаков (рис.9)

Поворот против Поворот по часовой стрелке

часовой стрелки

Рис.9.

Используя представление момента силы относительно точки О как векторного произведения Mo=r xF, можно установить аналитическую связь между моментом силы относительно точки О как начала координат и моментами относительно координатных осей.

Пусть

= x *+ y *+ z *

=F_x*+ F_y *+ F_z *,

тогда

Рис.10.

Следовательно:

M_x = y * F_z — z * F_y

M_y = z * F_x — x * F_z формулы Эйлера

M_z = x * F_y — y * F_z

Рассмотрим численный пример.

x = r_x = 2 м Fx = - 2 H

y = r_y = 2 м F_Y = 3 H

z = r_z = 0 F_Z = 0

Подставляем данные в

формулы Эйлера, получаем:

M_X = 2 * 0 – 0 * 3 = 0

M_Y = 0 * (-2) – 2 * 0 = 0

M_Z = 2 * 3 – 2 * (-2) = 10 Hм

Рис.11.

M_O= = 10 Нм

М₀= М_{z .}