- •Тема VII. Ряды
- •Необходимый признак.
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
- •Пример 1. Доказать сходимость ряда
- •Интегральный признак Коши
- •Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно (т.Е. Из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).
- •Знакопеременные ряды.
- •Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.Е. Если выполняются следующие два условия:
- •Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда
- •Пример 2. Найти область сходимости ряда:
- •Решение.
- •Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
- •Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Решение
- •Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда
- •Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .
- •Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда
- •Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
- •Разложение функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления с помощью рядов
- •1. Приближенное вычисление значений функций
- •2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •3. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Ряд Фурье
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:
(1)
(2)
Первый признак сравнения:
Если для n n0 un vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).
Если для n n0 un vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
Второй признак сравнения:
Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.
Для сравнения часто используются ряды:
1. Ряд (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.
2. Ряд Дирихле сходится при р > 1, расходится при р ≤ 1
В случае p=1 имеем гармонический ряд:
. Гармонический ряд расходится.
Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины иэквивалентны приn∞ (,n∞), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)
Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:
; ; и т.п.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:
Решение. Общий член ряда представляет собой дробно-рациональное выражение, так что мы можем пренебречь младшими слагаемыми, получив выражение, эквивалентное данному при n→∞:
. Ряд вида отличается от гармонического ряда только постоянным сомножителем и, следовательно, расходится.
На основании второго признака сравнения рядов заключаем, что данный ряд расходится.
Замечание: Здесь можно было использовать и первый признак сравнения, т.к.
и ряд расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:
Решение. Сравним этот ряд с рядом, который представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем . ,при n2 и ряд сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому и исследуемый ряд сходится (по первому признаку сравнения).
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд:
Решение. Известно, что при x→0 бесконечно малая функция tgx эквивалентна x, т.е. tgxx. Следовательно, при n→∞ ~. Ряд сходится (это ряд Дирихле со значением параметра р=3/2>1).
Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд сходится.
Решить: Исследовать на сходимость при помощи теорем сравнения:
A 1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
B 10) 11)
12) 13)
Признак Даламбера
Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .
Если , то:
ряд сходится, если l<1; ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.
Пример 1. Доказать сходимость ряда
Решение. Общий член ряда определяется формулой . Заменяя в этой формулеn на n+1, получаем последующий член .
Составим отношение последующего члена к предыдущему:
: .
Найдем предел
Так как l=<1, то ряд сходится (по признаку Даламбера).
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Здесь ,,
Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение. Здесь .
, значит, ряд сходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда:
Решение. Здесь ,.
Применим признак Даламбера
(учитывая, что при ):
, ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Здесь поэтому
>1, значит, ряд расходится.
Замечание.
Напомним, что при вычислении пределов такого вида используют следующие свойства функции ln:
для любой функции у справедливо тождество;
для любых а>0, b;
ln y y-1 при y1.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда:
Решение. Здесь
; ,
следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.
Используем второй признак сравнения. Легко видеть, что
. Ряд сходится как ряд Дирихле с р>1. Следовательно, и рядсходится.
Замечание. Как видим, признак Даламбера удобно применять, если общий член ряда содержит множители вида вида аn, n!, nn и т.п. Если же общий член ряда является рациональной или иррациональной (как в последнем примере) дробью, то признак Даламбера неприменим, так как в этом случае соседние члены ряда отличаются друг от друга незначительно.
Решить: Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера:
A 1) 2)3)4)
5) 6)7)8)
9) 10)11)12)
B 13) 14)
15) 16)17)
Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами существует, то этот ряд сходится приl<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Имеем . Здесь удобно применить признак Коши:
.
Так как , то ряд сходится.
Пример 2. Доказать сходимость ряда
Решение. Применим признак Коши. В данном случае ; так как, то ряд сходится.
Пример 3. Исследовать вопрос о сходимости ряда
Решение. Применим признак Коши.
, следовательно, ряд сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд.
Решение. Находим
, следовательно, ряд сходится (по признаку Коши).
Замечание При применении признака Коши следует учитывать, что
(см. тему «Предел функции);
вообще, , где- многочлен
Решить: Исследовать на сходимость с помощью радикального признака Коши:
A 1)2)3)4)
5)6)7) 8)
B 9) 10) 11)