Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.Е. Если выполняются следующие два условия:

1);2).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, абсолютной сходимости в данном случае нет.

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим условия признака Лейбница:

1) очевидно, ; 2).

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд из абсолютных величин членов данного ряда не удовлетворяет необходимому признаку сходимости:

. Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:. Применяя признак Даламбера, имеем:

.

Таким образом, ряд сходится. Отсюда следует, что данный рядтоже сходится, и притом абсолютно.

Замечание. В случаях, аналогичных рассмотренной задаче, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать знакопеременный ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера (или Коши).

Отметим, что, если признак Даламбера (или Коши) устанавливает, что ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, расходится, то,

оказывается, заданный знакопеременный ряд не может сходиться даже условно, т.е. он расходится. Действительно, если, например, , то иприn, следовательно,, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости.

Пример 5. Исследовать на сходимость:

Решение: Рассмотрим ряди составим отношение:

.

В данном случае и признак Даламбера результата не дает. Но мы можем заметить, что для любыхnверно, что, то есть. Поскольку возрастающая положительная последовательность не может сходиться к нулю, то. Таким образом, необходимый признак не выполняется для ряда из абсолютных величин, а значит, и для данного знакочередующегося ряда. Следовательно, данный ряд расходится.

Решить: Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

A 1) 2)

3) 4)5)

6)

7) 8)9)

Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где - числа, называемые коэффициентами ряда (некоторые из них могут быть нулями).

При степенной ряд принимает вид

Основным свойством степенных рядов является следующее:

Теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится при х=х₀, то он будет сходиться (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству

х-а=х₀-а

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости с центром в точке а:

х-а<R, илиa-R<x<a+R, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого ряд расходится. На концах интервала (в точкахx=aR) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах; другие либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся; третьи расходятся на обоих концах.

Число R– половина длины интервала сходимости – называетсярадиусом сходимостистепенного ряда.

В частных случаях радиус сходимости ряда Rможет быть равен нулю или бесконечности. ЕслиR=0, то любой степенной ряд сходится лишь прих=а.

Если R=, то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Одним из способов определения радиуса сходимости степенного ряда является применение признаков Даламбера и Коши.

Радиус сходимости степенного ряда можно также вычислить по одной из формул

, (1)

, (2)

если соответствующий предел существует.

Но эти формулы справедливы только для тех рядов, члены которых содержат все или почти все целые положительные степени х, т.е. в которых есть не более конечного числа нулевых коэффициентов.