3. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
В частых случаях, когда ОДУ не решается в общем виде, решить задачу Коши для него можно приближенно, в виде первых нескольких членов разложения решения в ряд Тейлора (в окрестности данной точки)
Пример Найти первые 3 члена разложения в ряд решения задачи Коши
до
0,001
Решение: Будем искать решение задачи в виде
Коэффициент у(1)=2 – это начальное условие задачи Коши.
Коэффициент
найдем из уравнения, подставив в него
начальные условия:
Продифференцируем
обе части данного уравнения, чтобы найти
:
;
.
Таким
образом,
Решить: Вычислить приближенно с указанной точностью:
A
1)
до 0,0001 2)
до 0,0001 3)
до 0,01 4)ln6
до 0,01
5)
до 0,001 6)
до 0,001 7)
до 0,01
8)
до 0,001 9)
до 0,001 10)
до 0,001
11)
до 0,001 12)
до 0,01 13)
до 0,001
14)
до 0,001 15)
до 0,001 16)
до 0,001
B Найти первые несколько членов разложения в ряд решения задачи Коши:
17)y-4y+xy2-e2x=0; y(0)=2 (4 члена) 18) y+ycosx-y2sinx=0; y()=1 (4 члена)
19) y=eycosy; y(1)=1; y(1)=/6 (5 членов)
20) y=xy2-1/y; y(0)=0, y(0)=1 (5 членов)
Ряд Фурье
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-;) называется тригонометрический ряд вида:
,
где
.
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
,
где
.
Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l;l) функции сходится на всей числовой оси.
Сумма ряда Фурье S(x):
является периодической функцией с периодом 2l
на интервале (-l;l) совпадает с функцией f(x), за исключением точек разрыва
в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f(x) и на концах интервала принимает средние значения:
.
Говорят,
что функция раскладывается в ряд Фурье
на интервале(-l;l):
.
Если f(x) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть bn=0.
Если f(x) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть аn=0
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по косинусам кратных дуг называется ряд:
,
где
.
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по синусам кратных дуг называется ряд:
,
где
.
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.
Примеры.
1. Разложить функцию f(x)=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-;);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;); построить график полученного ряда Фурье
Решение:
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-;) имеет вид:
,
причем все коэффициенты bn=0, т.к. данная функция – четная; таким образом,
Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а0=2, а1=а2=а3=…=0
В
силу свойства единственности это и есть
искомые коэффициенты. Таким образом,
искомое разложение:
или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:
Таким
образом, для четных n
(n=2k)
имеем bn=0,
для нечетных (n=2k-1)
-
Окончательно,
.
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:
Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:
И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:
2.
Разложить функцию
на интервале (0;6) по синусам кратных дуг
Решение: Искомое разложение имеет вид:
Коэффициенты ряда можно подобрать, если ряд в правой части равенства содержит такие же слагаемые, как функция в левой части. Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или
,
откудаn=18.
Значит, такое слагаемое содержится в
правой части и коэффициент при нем
должен совпадать с коэффициентом в
левой части: b18=1;
или
,
откудаn=4.
Значит, b4=-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:
Решить: Разложить данную функцию на указанном интервале в ряд Фурье. Построить график суммы полученного ряда (кроме задач 4,8,12)
A
1.
на
(0;1) по синусам кратных дуг; 2.
на
(-;)
3.
на
(0;)
по косинусам кратных дуг
4.
на (-3;3)
5.
на
(0;)
по косинусам кратных дуг
6.
на (-2;2)
7.
на
(0;)
по косинусам кратных дуг
8.
на
(0;4)
по синусам кратных дуг
9.
на
(-;);
10.
на
(0;5) по синусам
11.
на
(-2;2); 12.
на (-10;10)
B
13.
на
(0;2) по синусам; 14.
на
(0;6) по синусам
15.
на
(0;5) по косинусам; 16.
на
(0;1) по косинусам