- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Часть 1 лекция 1 основные понятия теории статистических решений
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Основные формулы
- •Лекция 2 стратегии принятия решений
- •2.1. Критерии и принципы принятия решений
- •Лекция 3 проверка гипотез
- •3.1. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
- •3.2. Многоальтернативная задача выбора решения
- •Часть 2 лекция 1 основные понятия исследования операций
- •1.1. Основные определения
- •Лекция 2 основные понятия теории игр Матричная игра
- •2.1. Основные определения
- •2.2. Матричная игра
- •Лекция 3 Матричная игра (продолжение)
- •3.1. Пример решения матричной игры в чистых стратегиях.
- •3.2. Пример решения матричной игры с седловой точкой.
- •Лекция 4 смешанное расширение Матричной игры
- •4.1. Смешанные стратегии
- •4.2. Основная теорема матричных игр
- •Лекция 5 методы решения Матричных игр в смешанных стратегиях
- •5.1. Решение матричной игры
- •Лекция 6 методы решения Матричных игр в смешанных стратегиях (продолжение)
- •6.1. Применение линейного программирования
- •Лекция 7 итерационный метод решения Матричной игры
- •7.1. Метод Брауна-Робинсона
- •Лекция 8 итерационный метод решения Матричной игры (продолжение)
- •8.1. Пример решения игрыметодом Брауна-Робинсона
- •8.2. Метод решения бесконечных игр
- •Лекция 9 неантагонистические игры двух игроков
- •9.1. Биматричная игра
- •9.2. Смешанное расширение биматричной игры
- •Лекция 10 неантагонистические игры n игроков
- •10.1. Бескоалиционная игра n игроков
- •10.2. Кооперативная игра n игроков
- •Лекция 11 неантагонистические игры n игроков (продолжение)
- •11.1. Пример решения кооперативной игры
- •Лекция 12 вектор шепли
- •12.1. Вектор и аксиомы Шепли
- •Лекция 13 вектор шепли (продолжение)
- •13.1. Пример расчета вектора Шепли
- •13.2. Понятие о дифференциальных играх
- •Содержание
- •Часть 1
- •Часть 2
1.2. Основные формулы
Вероятность совместного появления результата эксперимента xи состояния природыsпоформуле умножения вероятностей равна
(1.2.1)
Апостериорная вероятность определяется с помощью формулы Бейеса
(1.2.2)
Здесь P(x) ― полная вероятность случайного событияP(x)=P(X=x), которую можно вычислить с помощьюформулы полной вероятности.
Если случайное событие (X=x)может произойти только вместе с одним из состояний природы, составляющих полную группу несовместных событий, то по формуле полной вероятности
(1.2.3)
Лекция 2 стратегии принятия решений
2.1. Критерии и принципы принятия решений
В детерминированной ситуации, когда S=s, выбирается экстремальная стратегия
(2.1.1)
В статистически неопределенной ситуации, когда задано только S={s}, выбирается, как правило, осторожная максиминная / минимаксная стратегия (принцип гарантированного результата)
(2.1.2)
В статистически определенной ситуации часто выбирается бейесовская стратегия (принцип максимального / минимального среднего (ожидаемого) результата)
(2.1.3)
(2.1.4)
Пример 2.1 Выбор решения о летной / нелетной погоде
Пусть заданы
D={d1, d2, d3} множество возможных решений (альтернатив).
d1 ― руководитель полетов разрешает вылет,
d2 ― руководитель полетов откладывает вылет на 3 часа,
d3 ― руководитель полетов не разрешает вылет.
S={s0, s1} множество возможных состояний природы.
s0 ― летная погода,
s1 ― нелетная погода.
u1(s,d) функция потерь
|
d1 |
d2 |
d3 |
s0 |
0 |
1 |
3 |
s1 |
5 |
3 |
2 |
Определим стратегии руководителя полетов.
В детерминированной ситуации,
когда S=s0, выбирается экстремальная стратегия ,
а когда S=s1, выбирается экстремальная стратегия .
В статистически неопределенной ситуации, когда задано только S={s0, s1}, выбирается осторожная минимаксная стратегия .
В статистически определенной ситуации, когда заданы P(s0)=0.6 и P(s1)=0.4, выбирается бейесовская стратегия .
Пусть дополнительно заданы
E={e1, e2} множество возможных экспериментов.
e1 ― бесплатный прогноз погоды,
e2 ― платный специальный прогноз погоды по маршруту полета.
X={x0, x1} множество возможных результатов экспериментов.
x0 ― прогноз благоприятный,
x1 ― прогноз неблагоприятный.
u2(x,e) функция платы
|
e1 |
e2 |
x0 |
0 |
1 |
x1 |
0 |
1 |
Теперь, очевидно, u=u1(s,d)+u2(x,e) функция потерь и платы.
Пусть при этом заданы
P(x0/s0,e1)=0.8, P(x1/s0,e1)=0.2 и P(x0/s1,e1)=0.3, P(x1/s1,e1)=0.7,
а также
P(x0/s0,e2)=0.9, P(x1/s0,e2)=0.1 и P(x0/s1,e2)=0.25, P(x1/s1,e2)=0.75.
Определим полные вероятности каждого результата каждого эксперимента с помощью формулы полной вероятности.
Определим апостериорные вероятности состояний природы для каждого результата каждого эксперимента.
Определим средние риски для каждого решения и для каждого результата каждого эксперимента.
Очевидно, что при каждом конкретном эксперименте должны выбираться решения, соответствующие минимальным средним рискам
Определим бейесовы риски каждого эксперимента, учитывая, что полные вероятности каждого результата каждого эксперимента уже подсчитаны.
Отсюда бейесов эксперимент , поскольку
Соотвественно, очевидно и бейесово решение при каждом возможном результате бейесова эксперимента