Лекция 3 Матричная игра (продолжение)

3.1. Пример решения матричной игры в чистых стратегиях.

Пример 3.1 Определение нижней цены игры, верхней цены игры, максиминной и минимаксной стратегии для заданной матрицы игры

	y1	y2	y3	y4
x1	2	5	8	3
x2	8	4	3	7

Здесь α₁=2, α₂=3, α=3, β₁=8, β₂=5, β₃=8, β₄=7, β=5.

x₂―максиминная стратегия, y₂―минимаксная стратегия.

Таким образом, если игрок 1не информирован о действиях игрока 2, то максимальным гарантированным выигрышем для него является α=3 (нижняя цена игры), а вот если он информирован о действиях игрока 2, то тогда максимальным гарантированным выигрышем для него является минимальный гарантированный проигрыш игрока 2, то есть β=5 (верхняя цена игры). В этом случае оптимальная стратегия игрока1определяется при нахождении максимума, а не максимина.

Можно показать, что в антагонистической игре.

3.2. Пример решения матричной игры с седловой точкой.

Если для данной игры нижняя и верхняя цены игры совпадают

(3.2.1)

то игрок 1может выигратьv, но больше, чемvигрок 2может не дать ему выиграть, поэтомуvэточистая цена игры.

В этом случае матрица игры содержит элемент, который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Этот элемент называется седловой точкой матрицы, соответствующие ему стратегии называются ситуацией равновесия, а сама игра при этом называетсяигрой с седловой точкой, игройс ситуацией равновесияиливполне определенной игрой.

Чистые максиминная и минимаксная стратегии в игре с седловой точкой являютсяоптимальныминезависимо от информированности игроков.

Если игрок 2 придерживается своей минимаксной стратегии, то игроку 1 не выгодно отклоняться от своей максиминной стратегии и наоборот.

Можно показать, что оптимальность поведения игроков не изменится, если матрица игры умножается на положительную константу или к ней прибавляется константа.

Пример 3.2 Определение чистой цены игры, максиминной и минимаксной стратегии для заданной матрицы игры с седловой точкой

	y1	y2	y3
x1	5	2	3
x2	7	6	5
x3	4	3	3

Здесь α₁=2, α₂=5, α₃=3, α=5, β₁=7, β₂=6, β₃=5, β=5, v=5,a₂₃=5―седловая точка,x₂―максиминная стратегия, y₃―минимаксная стратегия, (x₂, y₃)―ситуация равновесия.

Максиминная x₂и минимаксная y₃ стратегии являются оптимальными независимо от информированности игроков. Так, если игрок 2придерживается минимаксной стратегии y₃игроку 1 не выгодно отклоняться от своей максиминной стратегии x₂даже при условии информированности, а вот в игре без седловой точки при информированности игрока 1его оптимальная стратегия не совпадала с максиминной.

Лекция 4 смешанное расширение Матричной игры

4.1. Смешанные стратегии

Смешанная стратегия это случайная смесь нескольких чистых стратегий с определенными вероятностями (частотами) каждой из них в этой смеси.

Это означает, что при многократном применении можно гарантировать средний выигрыш игрока больше нижней цены игры, если использовать не одну чистую стратегию, найденную по принципу получения максимального гарантированного результата при наихудшей для него стратегии противника, а комбинацию нескольких чистых стратегий при случайном их чередовании с определенными вероятностями.

Смешанную стратегию игрока 1, заключающуюся в применении чистых стратегийx₁,x₂,...,x_mс вероятностямиp₁,p₂,...,p_mобозначают

(4.1.1)

Аналогично обозначают смешанную стратегию игрока 2

(4.1.2)

где q₁,q₂,...,q_n вероятности, с которыми используются чистые стратегии y₁,y₂,...,y_n.

Вероятности использования чистых стратегий подчиняются нормирующим условиям

(4.1.3)

(4.1.4)

Чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии, в которой одна стратегия используется с вероятностью, равной 1, все остальные с вероятностями, равными 0.

Стратегии, входящие в состав смешанных стратегий, называют активными. В общем случае не все стратегии игры входят в состав смешанных стратегий. Множество индексов активных стратегий называетсяспектромсмешанной стратегии.

Математическое ожидание результата (средний результат) матричной игры при использовании игроками смешанных стратегий

(4.1.5)

Здесь ,векторы вероятностей использования чистых стратегий, которые описывают смешанные стратегии игроков.