Лекция 3 проверка гипотез
3.1. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
Пусть есть два состояния возможных природы S={s0, s1}. Рассматриваются две простые (то есть такие, которые нельзя представить в виде совокупности других гипотез) гипотезы:
H0 ― основная гипотеза (S=s0),
H1 ― конкурирующая гипотеза (S=s1).
Тогда множество возможных решений D={d0, d1}:
d0 ― гипотеза H0 считается истинной, а гипотеза H1 считается ложной,
d1 ― гипотеза H1 считается истинной, а гипотеза H0 считается ложной.
Пусть в результате эксперимента e может быть получен результат x, причем множество возможных результатов эксперимента X={x0, x1}.
Пусть известны априорные вероятности P(s0)=q, P(s1)=p и условные вероятности P(x0/s0,e)=P(x0/s0), P(x1/s0, e)=P(x1/s0), P(x0/ s1,e)=P(x0/s1), P(x1/s1,e)= P(x1/s1).
Определим вероятности правильных и ошибочных решений, если принимается решение d0 / гипотеза H0, когда X=x0 и принимается решение d1 / гипотеза H1, когда X=x1.
Условная вероятность ошибки 1-ого рода или уровень значимости:
(3.1.1)
Тогда
(3.1.2)
Условная вероятность ошибки 2-ого рода:
(3.1.3)
Соответственно, мощность правила выбора решения
(3.1.4)
Полные вероятности случайных событий P(D=d0)иP(D=d1)можно вычислить с помощью формулы полной вероятности, если известны априорные вероятности состояний природы или истинности рассматриваемых гипотезP(s0)= P(H0)=q и P(s1)=P(H1)=p.
(3.1.5)
(3.1.6)
В примере 2.1 q= P(H0)=P(s0)=0.6 и p=P(H1)=P(s1)=0.4.
При эксперименте e1
α=P(d1/H0,e1)=P(x1/s0,e1)=0.2, 1-α=P(d0/H0,e1)=P(x0/s0,e1)=0.8,
β=P(d0/H1,e1)=P(x0/s1,e1)=0.3, 1-β=P(d1/H1,e1)=P(x1/s1,e1)=0.7,
P(d0/e1)=P(H0) P(d0/H0,e1)+P(H1) P(d0/H1,e1)=0.6(1-0.2)+0.4 0.3=0.6,
P(d1/e1)=P(H0) P(d1/H0,e1)+P(H1) P(d1/H1,e1)=0.6 0.2+0.4(1-0.3)=0.4,
а при эксперименте e2
α=P(d1/H0,e2)=P(x1/s0,e2)=0.1, 1-α=P(d0/H0,e2)=P(x0/s0,e2)=0.9,
β=P(d0/H1,e2)=P(x0/s1,e2)=0.25, 1-β=P(d1/H1,e2)=P(x1/s1,e2)=0.75,
P(d0/e2)=P(H0) P(d0/H0,e2)+P(H1) P(d0/H1,e2)=0.6(1-0.1)+0.4 0.25=0.64,
P(d1/e2)=P(H0) P(d1/H0,e2)+P(H1) P(d1/H1,e2)=0.6 0.1+0.4(1-0.25)=0.36.
Пусть теперь в результате эксперимента e может быть получен результат (x1,…,xn), который можно рассматривать как совокупность случайных величин.
Пусть известны априорные вероятности P(s0)=P(H0)=q, P(s1)=P(H1)=p и условные плотности распределения вероятностей f(x1,…,xn/s0)=f(x1,…,xn/H0), f(x1,…,xn/s1)=f(x1,…,xn/H1).
Множество возможных решений D={d0, d1}:
d0 ― гипотеза H0 считается истинной, то есть результат эксперимента (x1,…,xn), который мы далее будем называть выборкой, соответствует (принадлежит) распределению f(x1,…,xn/s0)=f(x1,…,xn/H0),
d1 ― гипотеза H1 считается истинной, то есть результат эксперимента (x1,…,xn), соответствует распределению f(x1,…,xn/s1)=f(x1,…,xn/H1).
Обозначим
― область
возможных значений выборок в n-мерном
пространстве,
Пусть
гипотеза H0
считается истинной, когда
,
и пусть, соответственно, гипотезаH1
считается истинной, когда
.
Тогда условная вероятность ошибки 1-ого рода (уровень значимости)
(3.1.7)
Соответственно
(3.1.8)
Условная вероятность ошибки 2-ого рода
(3.1.9)
Соответственно, мощность правила выбора решения
(3.1.10)
Рассмотрим различные критерии принятия решения. Для этого введем функцию потерь.
|
|
d0 |
d1 |
|
H0/s0 |
u00=u(H0,d0) |
u01=u(H0,d1) |
|
H1/s1 |
u10=u(H1,d0) |
u11=u(H1,d1) |
Очевидно, что потери, соответствующие правильным решениям, будут минимальными u(H0,d0)<u(H0,d1), u(H1,d1)<u(H1,d0).
Средний риск:
(3.1.11)
Бейесов риск:
(3.1.12)
Поскольку
q>0,p>0,u01-u00>0,u10-u11>0,f(x1,…,xn/H0)>0,f(x1,…,xn/H1)>0,
необходимо, чтобы для всех
,
когда принимается решениеd1и истинной покритерию минимального
среднего рискапризнается гипотезаH1, выполнялось
условие
(3.1.13)
или
(3.1.14)
В противном случае принимается решение d0и истинной признается гипотезаH0.
Здесь
(3.1.15)
называется отношением правдоподобия для выборки, а
(3.1.16)
называется обобщенным отношением правдоподобия.
Апостериорные вероятности рассматриваемых гипотез можно определить с помощью формулы Бейеса и соответствующих элементов вероятности
(3.1.17)
(3.1.18)
Принимается решение d1и истинной покритерию максимальной апостериорной вероятностипризнается гипотезаH1, если выполняется условие
(3.1.19)
или
(3.1.20)
В противном случае принимается решение d0и истинной признается гипотезаH0.
В случае, когда априорные вероятности гипотез неизвестны, принимается решение d1и истинной покритерию максимальной функции правдоподобияпризнается гипотезаH1, если выполняется условие
(3.1.21)
или
(3.1.22)
В противном случае принимается решение d0и истинной признается гипотезаH0.