Математика в экономике, сборник задач

111

= 18 ò

4.35. ò	3 - 2ctg2 xdx .				4.36. òtg2 xdx .
	cos2 x
4.37. ò	dx				æ	x		x ö		2
	cos2x + sin	2	.		4.38. òçsin		- cos		÷	dx .
						2
			x		è			2 ø

Рассмотрим подробнее ситуацию, когда интеграл сводится к таблично- му посредством введения вспомогательной, зависимой от x , переменной ин- тегрирования. Этот приём иногда называют подведением функции под знак дифференциала, он является частным случаем метода замены переменной. Ключевым моментом является тождественное преобразование подынтеграль- ного выражения с выделением дифференциала новой переменной интегриро- вания. После освоения приёма введение явно обозначения для новой пере- менной необязательно.

Пример 4.2. Найти интегралы сведением к табличным :

1) ò(3x + 5)10 dx;

2)

òsin 2xdx;

3) òesin x ×cos xdx;

(ln x)3 dx

x7 dx

6) ò

dx

.

4) ò

;

5)

ò

;

x

1+ cos2

x

1- x16

Решение. 1) Учитывая, что (3x + 5)′ = 3 , положим u = (3x + 5),

du = 3dx ,

преобразуем интеграл к табличному следующим образом:

ò(3x + 5)10 dx =

1 ò(3x + 5)10

×3dx = 1 ò(3x + 5)10 d(3x + 5)|u=3x+5 =

1

òu10 du =

(3x + 5)11

3

3

3

u11

+ C = =

+ C .

33

33

2) По аналогии с предыдущим примером имеем

òsin 2xdx =

1

òsin 2x × 2dx =

1

òsin 2x × d(2x)|u=2 x =

1

òsinudu = -

cosu

+ C =

2

cos2x

2

2

2

-

+ C .

2

3) Учитывая, что d(sin x) = cos xdx,

кратко решение запишем в виде

òesin x

×cos xdx = òesin x × d(sin x) = esin x

+ C .

(ln x)3 dx

4) ò x

5) ò x7 dx

1- x16

3

dx

3

(ln x)4

= ò(ln x)

×

= ò(ln x) d(ln x) =

+ C .

x

4

d(x8 )

8x7 dx

=

1

ò

=

1

arcsin x8

+ C .

8

8

2

2

1- (x8 )

1- (x8 )

6) ò

dx

= ò

dx

= ò

dx

= ò

d (tgx)

=

(2 + tg 2 x)

1+ cos2

x

2cos2 x + sin2

x

cos2 x ×

2 + tg 2 x

æ tgx ö

=

2

arctg

+ C .

ç

÷

2

è

2 ø

Найти интегралы:

4.39. òsin3xdx .

4.40. òcos5xdx .

4.41.

ò

dx

.

4.42.

ò

dx

.

cos

2

5x

sin

2

7x

4.43.

òe2x dx .

4.44.

ò

dx

.

1

+16x

2

4.45.

òsin(2x + 3)dx .

4.46.

òcos(4x - 5)dx.

4.47.

ò(6x + 5)4 dx .

4.48. ò(2 - 3x)3dx.

4.49.

ò

4.50.

3

dx.

3 + xdx .

3 - 7x

4.51. ò x2

dx

4.52. ò x3(1 - 2x4 )3dx .

x3 + 5

4.53. ò xex2 dx.

4.54. ò x2

× e− x3 +1 × dx .

4.55.

ò

x2

dx.

4.56.

ò

6x5

dx.

x

3

+

5

2

× x

6

+

3

4.57.

ò

2 × x2

dx.

4.58.

ò

x

dx .

5

4x3 -

7

3 x2 + 1

4.59.

ò

x

dx .

4.60.

ò

x3

dx .

1 - 4x

4

x

8

4.61. òsin5 x × cos xdx .

+1

4.62. ò (cos3

x + 1) × sin x ×dx .

4.63.

ò

sin x

dx.

4.64.

ò

cos

x

dx.

cos x + 2

2

sin

x

+1

4.65.

ò

4 × cos x

dx

4.66.

ò

sin x

dx

sin

5

x

cos

3

x

4.67.

4.68.

òtgxdx .

ò ctgx dx.

4.69. ò

tg 2 xdx

.

4.70. ò

1 + сtgx

× dx .

cos

2

x

sin

2

x

4.71.

ò

cos2x

dx

4.72.

ò

1+ sin 2x

dx

sin x × cos x

sin

2

x

112

4.73.

ò

3 × dx

.

2

2 + tgx × cos

x

4.75. ò

ex

dx .

1 + ex

4.77. ò

e

2x−1

dx .

2x -

1

4.79.

ò

e

arctgx

dx.

1 + x

2

2

+1

4.81.

ò

x

dx .

x

4.83.

ò

ln x

× dx.

x

4.85.

ò

dx

x ×(ln x + 2)

4.87. ò arctgx2 dx .

1+ x

3

× dx

.

4.89. ò

arcsin x + 2

dx

1 - x2

4.91. ò

.

(x + 9)

x

4.93. ò

x2 + 1

dx .

3

x3 + 3x +1

4.95.

ò

2x + arctg 2 x

dx.

1+ x

2

4.97. ò arctg

x

×

dx

.

(1+ x)

x

4.99.

ò

sin 4x

dx .

cos4 2x +

4

cos

x

4.74.

ò

2

dx.

x

2 - 3sin

2

e2 x

4.76. ò

.dx.

1

- 3e

2 x

4.78. ò

e

dx.

x

x

4.80.

ò

e−ctgx

×dx .

sin

2

x

tgx

4.82.

ò

2

dx .

cos

2

x

dx

4.84.

ò

1+ ln 2x

x

4.86.

ò

dx

xln

2

x

dx

4.88. ò

.

arccos5 x ×

1- x2

4.90. ò

(arcctgx - 7)100

1+ x

2

dx .

4.92. ò

dx

.

x ×ln x ×ln ln x

4.94.

ò

x3 + x

dx .

4

1 + x

4.96.

ò

arcsin x + x

× dx

1 - x

2

x

4.98. ò

e

2

dx .

16 - ex

1+ xdx .

4.100. ò

1

× ln

1 - x2

1 - x

113

4.2. Метод подстановки или замены переменной

Пусть функция	f (x) интегрируема на промежутке	X , а функция
x = ϕ(t) определена и дифференцируема на промежутке T		и множество её
значений совпадает с X , тогда верно равенство		(4.1)
	¢
ò f (x)× dx |x=ϕ (t )= ò f (ϕ(t))×ϕ (t)dt .
Равенство (4.1)	называют формулой замены переменной в неопреде-

лённом интеграле. После вычисления неопределённого интеграла при помо- щи замены переменной необходимо вернуться к исходной переменной.

Формулу (4.1) часто используют "в обратном направлении":

ò f (ϕ(t))×ϕ¢(t)dt = ò f (x)dx , где x = ϕ(t),

или, в других обозначениях,

ò f (g(x))×g¢(x)dx = ò f (t)dt , где t = g(x).

Пример 4.3. Найти: ò xx - 5dx.

Решение. Обозначим

t =

, отсюда x − 5 = t 2 ,

x = t2

+ 5, dx = 2tdt .

x - 5

Осуществляя замену переменных, получим

ò x

dx |x

5 = ò(t 2 + 5)×t × 2tdt = 2ò(t4

+ 5t2 )dt = 2

t5

+10

t3

+ C =

x - 5

t 2

+

=

5

3

5

3

2 (x - 5)3

(x - 5)

+10 (x - 5)

(3x +10)+ C .

= 2

2

2

+ C =

5

15

3

4.101. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:

1)

ò

x3 × dx

,

t = x −1;

2) ò x3 (1- 5x2 )10dx, t = 1- 5x2 ;

(x -1)12

3)

ò

dx

,

t =

;

4) ò

dx

, t = 1 .

3 + ex

3 + ex

x × x2 - 2x -1

x

4.102. Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:

1) ò x

(5x -1)19dx ;

2)

ò

x + 2

× dx;

3) ò

x ×dx

;

(3 - x)7

x +1

x2 × dx

6) ò

x5 × dx

;

4) ò

,

5)

ò x3 × 1- x2 dx ;

(2 + x2 )3

2 - x

ò

e2xdx

ò

e3xdx

7)

x

;

8)

.

e

-1

2 + e

x

114

4.3. Метод интегрирования по частям

Пусть функции	u(x) и v(x) определены и дифференцируемы, а функ-
ция v(x)×u′(x) интегрируема на промежутке		X . Тогда на этом промежутке
интегрируема функция	u(x)×v′(x), причём справедлива формула
òu(x)×v (x)dx = u(x)×v(x)- òv(x)×u (x)dx .		(4.2)
¢	¢

Формулу (4.2) называют формулой интегрирования по частям в неоп-

ределённом интеграле. Её можно переписать в виде:

òu ×dv = u ×v - òv ×du .	(4.3)
В формулах (4.2)	и (4.3) функция v(x)- любая из первообразных
для v′(x).

Метод интегрирования по частям применяется, в частности, в следую- щих случаях.

1) Для вычисления интегралов вида

ò n	ò n	(x)× cos(ax + b)dx ,	ò	n	(x)×sin(ax + b)dx ,
P (x)×eax+bdx,	P			P
здесь n N ,	a,b -действительные числа,				Pn (x) − многочлен степени n
относительно переменной		x . В качестве функции u(x) следует взять поли-

ном Pn (x). Если n > 1, то интеграл òv ×du будет принадлежать к тому же ти-

пу, что и исходный, но в нём степень многочлена будет на единицу меньше. Выбирая этот многочлен в качестве u(x), применим формулу интегрирования по частям вновь и т. д. до тех пор, пока не получим табличный интеграл. В ходе вычисления перечисленных интегралов формула интегрирования по час- тям применяется число раз, равное степени многочлена.

2)Если подынтегральное выражение содержит логарифмическую или одну из обратных тригонометрических функций (за исключением табличных интегралов и интегралов, которые легко находятся при помощи замены пере- менных), в качестве u(x) следует выбрать указанные функции.

3)Для вычисления интегралов вида

òeax ×sinbxdx,	òeax ×cosbxdx , òsin(ln x)dx,	òcos(ln x)dx,
здесь a,b − действительные числа. Выбор u и		dv в первых двух инте-

гралах произволен, в двух последних - очевиден. При вычислении каждого из

перечисленных интегралов метод интегрирования по частям применяется дважды, в результате получается выражение, содержащее исходный интеграл.

Следует приравнять интеграл найденному выражению и из составленного уравнения найти интеграл (см. пр. 4.3.4)).

Пример 4.3. Найти интегралы: 1) ò x ×cosxdx;

115

2) òarctgx× dx;

3)

ò(x2 +1)×e2xdx;

4) òe3x × cos(2x +1)dx.

Решение. 1) Положим u = x ,

dv = cos xdx , тогда

du = dx ,

v = sin x . По

формуле интегрирования по частям получим

ò x × cosxdx = x ×sin x - òsin xdx = xsin x + cosx + C .

dx

2) Положим

u = arctgx,

dv = dx , тогда du =

, v = x . По формуле

интегрирования по частям получим

1+ x2

d(1+ x2 )

ln(1+ x2 )+ C .

òarctgxdx = x × arctgx- ò

x

dx =

x × arctgx-

1

ò

= x × arctgx-

1

1

+ x

2

2

2

1+ x

2

1

3) Положим

u = x2 +1,

dv = e2 x dx ,

тогда du = 2xdx , v =

e2 x .

При-

2

меним формулу интегрирования по частям:

ò(x2 +1)e2x dx=

1

(x2 +1)e2x

- ò xe2x dx.

2

К последнему интегралу вновь применим формулу (4.3), полагая

u = x ,

dv = e2 x dx . Тогда du = dx ,

v =

1

e2 x , следовательно,

2

1

1

1

1

1

ò xe2x dx =

xe2 x -

òe2 x dx =

xe2 x -

e

2x =

(2x -1)e2 x .

2

2

2

4

4

Витоге

ò(x2 +1)e2x dx = 12 (x2 +1)e2x − 14 (2x −1)e2x + C = 14 (2x2 − 2x + 3)e2x + C .

4)

Положим

u = e3x ,

dv = cos(2x +1)dx , тогда

du = 3e3x dx ,

v =

1

sin(2x +1). Применим формулу интегрирования по частям:

2

1

3

òe3x × cos(2x +1)dx=

e3x ×sin(2x +1)-

òe3x ×sin(2x +1)dx .

2

2

Для

нахождения

последнего

интеграла

положим

u = e3x ,

dv = sin(2x +1)dx , тогда

du = 3e3x dx ,

v = -

1

cos(2x +1) и, значит,

2

òe3x × cos(2x +1)dx=

1

3x

3

æ

1

3x

3

3x

ö

=

e

×sin(2x +1)-

ç

-

e

× cos(2x +1)+

ò

e

× cos(2x

+1)dx÷ + C1 .

2

2

2

2

è

ø

Разрешим последнее равенство относительно искомого интеграла, по-

лучим

116

x2dx

æ

+

9

ö

e

3x

×cos(2x

+1)dx =

(2sin(2x +1)+ 3cos(2x +1))

e

3x

+ C1

ç1

÷

4

4

или

è

ø ò

e3x (2sin(2x +1)+ 3cos(2x +1))+ C

òe3x ×cos(2x +1)dx =

.

13

Пример 4.4.* Показать, что для интеграла

Jn

=

ò (x2

dx

,

n N,n > 1,

a −постоянная,

a ¹ 0,

+ a2 )n

1) верна рекуррентная формула

1

æ

x

+ (2n - 3)× J

ö

J

=

ç

÷;

n

2

(n -1)

(x

2

2

n−1

n−1

(4.4)

2a

è

+ a

)

ø

2) n N интеграл

Jn вычисляется в элементарных функциях.

Решение. Преобразуем интеграл Jn

следующим образом

dx

1 a2

+ x2 - x2

1

dx

1

x2

Jn =

=

dx =

-

dx =

ò (x2 + a2 )n

a2

ò (x2 + a2 )n

a2

ò (x2 + a2 )n−1

a2

ò (x2 + a2 )n

= a12 Jn−1 − a12 ò(x2 + a2 )n .

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям,

xdx

1 d(x2 + a2 )

полагая

u = x ,

dv =

=

.

Тогда

du= dx,

(x2 + a2 )n

2

(x2 + a2 )n

v =

1

1

и, следовательно,

2(1- n)

(x2 + a2 )n−1

1

æ

1

x

1

dx

ö

Jn

=

Jn−1 -

1

ç

×

-

ò

÷.

2

2

n 1

2(1- n)

(x2

n 1

a

a èç 2(1- n)

(x2 + a2 ) −

+ a2 ) −

ø÷

Отсюда получаем

1

æ

x

+ (2n - 3)× J

ö

J

=

ç

÷ ,

n

2

(n -

(x

2

2 n−1

2a

ç

+ a

n−1 ÷

1)è

)

ø

что и требовалось показать. 2) При n = 1 имеем

117

æ x

ö

dx

1

dç

÷

1

x

J1 =

=

è a

ø

=

arctg

+ C,

ò x2 + a2

a ò

æ x ö2

a

a

+1

ç

÷

т.е.

è a ø

1

x

J1 =

arctg

+ C .

(4.5)

a

a

Зная J1 , можно последовательно при помощи рекуррентной формулы

(4.4 ) вычислить J2 ,

J3 и т.д.

Т. о., используя формулы

(4.4), (4.5), можно

вычислить интеграл

Jn n N в элементарных функциях.

4.103. Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:

1) ò x ×sin xdx ;

2) ò(2x +1)× cos xdx;

3)

ò(x + 3)× exdx;

4) ò x × 3x dx;

5) òln xdx ;

6)

òlog5 xdx ;

7) òarcsin xdx;

8) ò x × arcctgxdx ,

9)

ò x2 × cos xdx;

10)

ò x2 × sin xdx;

11)

ò(x2 + x)× 2x dx ;

12) ò x2 × exdx ;

13)

ò(x +1)× sin 2xdx;

14)

ò x × cos6xdx ;

15) ò (x +1)cos(5x - 7)dx ;

16)

ò(2 - 3x)× sin(5x + 1)dx ;

17)

ò x × e−x dx ;

18) ò x × e7x dx;

19)

ò(4 - 3x)× e3x dx ;

20)

ò(5x + 3)× e2xdx ;

21) ò x ×ln xdx ;

22)

ò (x2 - x +1)ln xdx ;

23)

òln(4x2 +1)dx

24) òln(x2 + 4)× dx

25)

òln2 xdx ;

26)

ò lnx2 x dx;

27) ò ln3

xx dx ;

2

28)

ò ln

2 x

dx;

òln(x +

)dx ;

30) òln(

+

)dx

29)

1+ x2

1- x

1+ x

3 x2

31)

òarctg

dx;

32)

ò arctg

dx ;

33) ò

arcsin

x

dx ;

4x -1

5x -1

x

ò

arctg

dx ;

ò arcsin x dx ;

36) ò arccos x dx ;

34)

x

35)

x

1 + x

1- x

xsin x

ò x ×sin

2

xdx ;

x

37)

ò

dx ;

38)

39) ò

dx ;

cos3 x

sin2 x

x

2

40)

ò

dx;

41)

ò x3 × e−x

dx ;

42) ò e

x

dx ;

cos

2

x

43)

ò

x arccos x

dx ;

44)

òarcsin2

xdx ;

45) òcos(ln x)dx ;

1- x2

118

46) òsin(ln 2x)dx ;

47) òex × sin xdx ;

48) òex × cos xdx;

49) òe2x × cos3xdx

;

æ

π ö

;

51) 16)

ò

eax ×sin bxdx )

50) òe3x × sinç2x -

÷dx

è

4 ø

( a,b−параметры);

lnsin x

52)*ò

a

2

- x

2

dx

( a > 0 -параметр); 53)* ò

dx .

sin

2

x

4.104. Используя метод интегрирования по частям, получить рекур-

рентные формулы для вычисления интегралов (здесь

n Î N ):

1)

Jn

= ò xneaxdx ,

( a − параметр,

a ¹ 0);

2)

Jn

= òlnn xdx ;

3)

Jn

= òsinn xdx ,

n > 2;

4)

Jn

= òcosn xdx ,

n > 2;

5)

Jn

=

dx

,

n > 2;

6) Jn

=

dx

,

n > 2.

ò sinn

x

ò cosn

x

4.105. Используя рекуррентные формулы, полученные при решении

предыдущего примера, найти интегралы:

1)

ò x5e− x dx;

2) òln4 xdx ;

3)

òsin3 xdx ;

4)

òcos4 xdx ;

5)

ò

dx

;

6)

ò

dx

.

sin

4

x

cos

5

x

4.4.Интегрирование рациональных функций

1.Определение рациональной функции. Способы разложения ра-

циональных дробей. Рациональными называют функции, представимые в ви-

де отношения

Pm (x)

,

где

Pm(x)

и

Qn (x)− многочлены степеней m и n со-

Qn (x)

P (x) = a

ответственно

относительно переменной

x :

0

+ a × x + ... + a

m

× xm ,

m

1

Q (x) = b

+ b × x + ... + b

× xn ,

здесь

a

0

, a ,..., a

m

,

b ,b ,...b

n

−

действительные

n

0

1

n

1

0 1

числа, коэффициенты многочленов,

m , n − целые неотрицательные.

При n = 0 рациональную функцию

P (x)

(в этом случае - многочлен) на-

m

Q (x)

n

зывают целой; при m < n -- правильной дробью, при m ³ n −

неправильной ра-

циональной дробью.

Pm

(x)

Если рациональная дробь

является неправильной, в ней можно

Q

(x)

n

выделить целую часть, т. е. преобразовать к виду

P

(x)

(x)+

Rm

1

(x)

,

m

= W

(4.6)

Qn (x)

Qn (x)

119

где W (x)−многочлен - целая часть неправильной дроби; Rm1((x)) - правильная

Qn x

рациональная дробь: m 1< n .

Любой многочлен с действительными коэффициентами Qn (x) разлага-

ется единственным образом на произведение вещественных множителей сле- дующего вида:

Qn (x) = α ×(x - a)k ×...× (x - b)l × (x2 + cx + d )s ×...×(x2

+ px + q)r ,

(4.7)

где α − вещественное число,

равное коэффициенту при старшей степени x

многочлена Qn (x), a,...,b - вещественные корни многочлена кратности

k,...,l

соответственно,

квадратные

трёхчлены (x2 + cx + d ),...,(x2 + px + q)

не имеют

действительных корней (т. е.

c2 - 4d < 0,...,

p2 - 4q < 0) , каждый из них соот-

ветствует паре комплексно сопряжённых корней многочлена Qn (x)

кратности

s,...,r

соответственно,

числа

k,...,l , s,...,r −

натуральные,

причём

k +...+l + 2(s +... +r) = n .

P (x)

Если дробь

m

- правильная, тогда с учётом

(4.7 ) имеет место ра-

Qn (x)

венство

Pm

(x)

A1

A2

Ak

B1

B2

Bl

=

+

+...+

+...

+

+

+...+

+

Qn

(x)

(x - a)

(x - a)2

(x - a)k

(x - b)

(x - b)2

(x - b)l

C1 x + D1

„2 x + D2

Сs x + Ds

(x2 + cx + d )

+

+...+

+...+

(4.8)

(x2 + cx + d )2

(x2 + cx + d)s

M1 x + N1

M 2 x + N2

M r x + Nr

,

(x2

+ px + q)

+

+...+

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)r

где

A1 ,A2 ,...,Ak ,..., B1 , B2 ,..., Bl , C1 , D1 ,

C2 , D2 ,...,

Cs , Ds ,...,

M1 , N1 ,

M 2 , N 2 ,...,

M r , N r - некоторые действительные числа, коэффициенты разложения

(4.8).

Дроби,

входящие в правую часть равенства

(4.8)

называются про-

стейшими, а само равенство (4.8) называется разложением правильной ра- циональной дроби на простейшие.

В частном случае, когда все n корней a1 ,...,an многочлена Qn (x) явля-

ются разными действительными, тогда

Qn (x) = α ×(x - a1 )×...×(x - an )

и

Pm	(x)	=	A1		+...+	An			.
Q	(x)		(x - a	)		(x - a	n	)
n		1

120