Математика в экономике, сборник задач

Процесс уменьшения суммы погашаемого долга в связи с начислени- ем и удержанием процентов называется дисконтированием или учетом по- гашаемого долга, а сами начисленные и удержанные проценты называются дисконтом.

В зависимости от способа применения процентной ставки i (простые, сложные проценты, сложные проценты, начисляемые через равные проме- жутки времени m раз в году, непрерывные проценты) получаем соответст-

вующие формулы дисконтирования суммы долга

Sn

×(1+ i)−n ,

æ

i

(m) ö

−nm

e−nδ .

P =

, P = S

n

P = S

n

×ç1

+

÷

, P = S

n

1+ in

ç

m

÷

è

ø

Найденную дисконтированием сумму первоначального долга P назы- вают современной или приведенной к начальному моменту величиной по- гашаемого долга Sn.

1.79. Учетная ставка d - это отношение дохода за один период к

сумме погашаемого долга: d = S1 - P . S1

Выписать формулы дисконтирования суммы погашаемого долга Sn при применении простой, сложной учетных ставок d, номинальной годовой учетной ставки d (m ) , применяемой m раз в году, а также для непрерывной учетной ставки δ .

1.80.Найти наращённую сумму банковского вклада через три года, если первоначальный вклад составил 5 тыс. руб., а начисления процентных денег проводились в конце каждого года хранения по простой ставке 3% годовых. Изменится ли наращенная сумма, если начисления будут произ- водиться ежегодно по сложной ставке процентов?

1.81.Банк начисляет проценты на вклад, исходя из номинальной ставки 12% годовых. Определить ставку процентов а) при ежемесячном начислении процентов; б) при начислении процентов ежеквартально.

1.82.Известна первоначальная сумма ссуды 10 тыс. руб., сложные проценты по которой начисляются в конце каждого квартала при номи- нальной годовой ставке 5%. Найти наращённую сумму по истечении 5 лет.

1.83.Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, равен 6 тыс. руб. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процен- тов а) по ставке простых процентов; б) по ставке сложных процентов, на- числяемых ежегодно; в) по ставке сложных процентов, начисляемых еже- квартально.

1.84.Определить величину первоначального вклада, если наращён- ная сумма через 5 лет сбережения составила 50 тыс. руб., а начисления проводились а) по простой ставке 5% годовых; б) ежегодно по сложной ставке 5% годовых.

21

1.85.За какой срок сумма, равная 75 тыс. руб. достигнет 110 тыс. руб. при условии, что на неё начисляются проценты по сложной ставке 7,5

%годовых а) раз в году; б) поквартально.

1.86.В конце третьего квартала сумма вклада стала равной 175 д.е. Найти величину годовой процентной ставки, по которой начислялись про- центы в сумме 5 д.е. за каждый квартал.

1.87.Сравнить сроки удвоения суммы 1000 д.е. при начислении сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 0,1 а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) непрерывно.

1.88.Вексель, погашаемый 1 января 2009 года, учтен за 10 месяцев до его погашения на сумму 180 д.е. Какова величина годовой учетной ставки, если ежемесячный дисконт составляет 2 д.е.?

1.89.Государственная облигация учтена за пять лет до погашения. Какова сумма, погашаемая по облигации, если дисконты за последний и предпоследний годы до погашения составили соответственно 1600 и 2000

д.е.?

1.90.10 тыс. д.е. должны быть возвращены через 5 лет. Сравнить со- временные величины этого долга при его дисконтировании по годовой но- минальной сложной учетной ставке 0,12 а) по полугодиям; б) ежекварталь- но; в) непрерывно.

1.91.Срок погашения долга – 10 лет. При выдаче кредита была ис- пользована сложная учетная ставка 4 % годовых. Величина дисконта за 6-й год срока долга составила 339,738624 д.е. Какова величина дисконта за 3-й и 8-й годы в сроке долга? Какова сумма кредита?

1.92.На вклад начисляются сложные проценты 8 % годовых. Про- центы за 6-й год вклада составили 117,546246 д.е. Какова величина про- центов за 3-й и 8-й годы вклада? Какова сумма вклада к концу 8-го года?

1.93.5000 д.е. должны быть возвращены через 4 года. Определить современную величину погашаемого долга и величину дисконта, если дис-

контирование долга осуществляется по номинальной сложной учетной ставке 6 % годовых а) ежеквартально б) каждые полгода. Рассчитать соот- ветствующие эффективные учетные ставки.

2. Темп роста и темп прироста функции натурального аргумента.

Для функции натурального аргумента (последовательности) xn = f (n),

n N темп роста определяется отношением:				xn+1	=		f (n +1)			,
				xn			f (n)
а темп прироста – отношением:	xn+1 − xn	=	f (n +1)− f (n)					.
	xn			f (n)

В экономических исследованиях часто рассматриваются функции за- висящие от дискретного времени, а именно, времени, разбитого на после- довательные равные промежутки с номерами t = 0, 1,..... Для них:

22

xt+1

=

f (t +1)

− темп роста,

xt+1 - xt

=

f (t +1)− f (t)

− темп прироста в

xt

f (t)

xt

f (t)

промежутке времени с номером t+1,

t = 0, 1,….

1.94. Доказать, что: 1) если зависящая от дискретного времени

функция

xt

= f (t) имеет постоянный темп прироста

b%, то её изменение

происходит по геометрической прогрессии; 2) постоянный темп роста b%

вдискретном времени имеют только переменные xt = f (t), изменяющиеся

вгеометрической прогрессии.

При каких значениях b эта последовательность сходится и расходится? 1.95. Определить:

1) годовой темп роста переменной xt = f (t), если: а) она имеет еже-

месячный темп роста b%; б) ежеквартальный темп роста b%;

2) годовой темп прироста переменной xt = f (t), если: а) она имеет ежемесячный темп прироста b%; б) ежеквартальный темп прироста b%.

1.96.1) Выпуск продукции предприятия ежегодно увеличивается на 8 %: а) каков будет объём продукции через 5 лет, если начальный объём продукции равен Q; б) через сколько лет объём продукции удвоится?

2) Выпуск продукции предприятия за 5 лет увеличился на 50 %. Оп- ределить среднегодовой темп прироста продукции.

1.97.Темпом инфляции называется темп прироста среднего уровня цен. Через какой промежуток времени средний уровень цен удвоится, если темп инфляции составляет 10 % в месяц?

3. Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения описывает динамику изменения цены на рынке отдельного товара. Если D = D(P), S = S(P)- соответственно заданные функции спроса и предложения от цены товара, то модель описывается соотноше- ниями:

Dt = D(Pt ), St = S(Pt−1),	(1.1)
D(Pt )= S(Pt−1 ), t =1, 2,... , P(0) = P0 ,	(1.2)
где Pt , Dt , St - цена, спрос и предложение в периоде t,	Pt−1 - цена в

периоде t −1, t − номер периода, начальная цена P0 задана.

1.98. Ознакомьтесь с описанной выше дискретной паутинообразной моделью рынка с запаздыванием предложения.

1) Поясните, какова экономическая интерпретация равенств (1.1) и рекуррентного уравнения (1.2)?

2) Пусть функции спроса и предложения линейны:

D(P)= a - b × P , S(P)= c + d × P ,

a, b, c, d − параметры (в нормальных условиях a, b, c, d > 0). Вариан- ты численных значений параметров приведены в таблице 1.1.

23

Таблица 1.1.

Варианты численных значений параметров для дискретной паутинообразной модели рынка

	Номер	a	b	c	d	P0
	варианта
	1	10	2	1	1	3,5
	2	16	1	1	3/2	3
	3	9	1	1	1	2
	4	24	3/2	2	1	6
	5	13	1	1	2	6
	6	102	2	2	3	5
	7	100	3	20	2	20

a)Конкретизируйте дискретную паутинообразную модель рынка с запаздыванием предложения для линейных функций спроса и предложения

ивыбранного варианта численных значений параметров функций из табл.1.1.

b)Найдите траектории цены Pt = P(t) из рекуррентного уравнения

рассматриваемого вами варианта	модели, а также траектории	спроса
Dt = D(t) и предложения St = S(t).
c) Исследуйте поведение последовательностей {Pt }, {Dt } и		{St }. В

частности, определите, являются ли данные последовательности сходящи- мися при t → ∞ .

P		d)	Постройте графики функций Pt = P(t),
		Dt = D(t),		St = S(t) при		t ³0	и	отметьте на
		графиках точки, соответствующие целым значе-
		ниям t =0,1,... .
		e) Постройте в одной системе координат
0	Рис.1.1	Q прямые	спроса D = D( P)				и	предложения
		St = S(Pt	−1 ),	обозначив		оси	координат как
		показано		на рис.1.1 (на оси абсцисс OQ от-
кладываются объёмы спроса D и предложения					S). Отметьте на прямых
спроса и предложения точки с координатами					(P0 , D0 ),		(P0 , S1 ), (P1, D1 ),
(P1, S2 ), … , (Pn , Dn ),		(Pn , Sn +1 ), …, соедините их последовательно отрезка-

ми. Стало ли вам понятно, почему модель носит название «паутинообраз- ной»?

24

Глава 2. Введение в анализ функции одной переменной

2.1. Понятие функции одной переменной. Экономические переменные. Функции экономического анализа

1. Понятие функции одной переменной. Пусть X - произвольное множество действительных чисел. Если задано правило, по которому каж- дому элементу x X ставится в соответствие единственное действитель- ное число y , то говорят, что на множестве X определена числовая функ-

ция. При этом x называют независимой переменной (независимой перемен- ной величиной) или аргументом, y - зависимой переменной, а правило,

устанавливающее соответствие между x и y , обозначают некоторым сим- волом, например f , и пишут y = f (x), x X . Множество X называют

областью определения функции и обозначают также D f или D( f ), множе-

ство Y значений f (x), которые принимает функция на множестве X , т.е.

Y = {y R | y = f (x), x X }, называют множеством значений функции обо-

значают также E f или E( f ).

Если множество X не задано специально, то под областью опреде- ления функции y = f (x) понимают множество значений аргумента, при

которых данная функция вообще имеет смысл. Например, область опреде-

	ления X функции y =		+	1	определяется условиями: x + 2 ³ 0 и
		x + 2
				x
	x ¹ 0 , откуда имеем: X = [− 2;0) (0;+ ∞).

Однако одна и та же функция может быть задана в различных частях своей области определения разными формулами (кусочно заданные функ-

ции). Так, запись
ì2x +1,	x < 0,
y = í	x ³ 0
îx2 ,

означает, что функция определена на всей числовой оси, причём при x < 0 её значения подсчитываются по формуле y = 2x + 1, а при x ³ 0 - по фор- муле y = x2 .

2.1.Найти области определения следующих функций:

1)

y =

x2

;

2)

y = ln(x + 3);

1

+ x

3)

y = 5 − 2x ;

4)

y =

3x - 2x3

;

5)

y = lg(x + 2)+ lg(x − 2);

6)

y = ex −2 ;

7)

y =

1-

x

;

8)

y = sin

;

x

1− 2x

9)

y = (x - 2)

1+ x

;

10)

y = arcsin

.

4

1- x

25

2.2. Найти области определения и множества значений следующих функций:

2x

1) y = 2 + x - x

2

;

2) y = ln(1- 2cos x);

3) y = arccos1+ x2 .

2.3.

Найти множество Y , на которое данная функция отображает

множество X , если:

2)

y = lg x ,

X = [10, 100];

1) y = x2 ,

X = [−1, 2];

3) y =

x

,

X =

(0, 1);

4) y =

x

,

X = {x R| 1< x ≤ 2}.

2x +1

2.4. Вычислить значения функций при заданных значениях аргу-

ментов:

f (x) = lg x2 ,

вычислить f (−1), f (− 0,001),

f (100);

1)

2)

f (x) = íì1 + x,

- ¥ < x £ 0, ,

вычислить f (− 2),

f (0), f (1),

f (2);

î 2x ,

0 < x < +¥

3)

f (x) = x3 -1, найти

f (1),

f (a), f (a +1), f (a −1), 2 f (2a);

f (x) =

1− x

, найти f

(0),

f (− x), f (x +1),

f (x) +1,

æ

1ö

1

4)

f ç

÷ ,

.

1+ x

è xø

f (x)

2.5.

Найти

f (x), если:

f (x +1) = x2 - 3x + 2;

æ

1

ö

2

1

(

x

³ 2).

1)

2) f ç x +

÷ = x

+

2

è

x

ø

x

2.6. Показать, что функция f (x) удовлетворяет указанному функ-

циональному уравнению:		f (x) = kx + b,
1)	f (x + 2)- 2 f (x +1)+ f (x)= 0,		k,b - постоянные;
2)	f (x)+ f (x + 1)= f (x × (x + 1)),	f (x) = loga x ,	a > 0, a ¹ 1 .

2.7.Найти:

1) линейную функцию (многочлен первой степени) f (x) = ax + b , ес-

ли f (0)	= −2 , f (3) = 5, вычислить f (1), f			(2);
2)	квадратичную		функцию	(многочлен	второй степени)
f (x) = ax2 + bx + c , если			f (− 2) = 0, f (0) = 1, f (1)= 5; вычислить f (−1),
f (0,5);
3)	многочлен	третьей степени		f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , если
f (−1) = 0 , f (0) = 2 , f (1) = −3, f (2) = 5;
4)	функцию вида	f (x) = a + bcx , если f (0) = 15,			f (2) = 30, f (4) = 90.

2. Экономические переменные. Функции экономического анали-

за. В экономике величины характеризуются не только своими числовыми значениями, но имеют содержательный смысл, для них обычно используют специальные обозначения: цену принято обозначать через P или p , объём

26

спроса − через D или Qd , объём предложения − через S или Qs , количе- ство, объём − q или Q и т.д. Переменные, имеющие конкретный эконо-

мический смысл, называют экономическими переменными или показате-

лями. Содержательный экономический смысл переменных учитывают при нахождении их областей изменения. Перечисленные выше экономические переменные в обычной ситуации принимают только неотрицательные зна-

чения: P ³ 0, D ³ 0, S ³ 0, Q ³ 0 .

Приведём примеры функций одной переменной, используемых в экономической теории.

Рассмотрим рынок некоторого товара. Пусть P - цена товара.

Функцией спроса от цены товара называют функцию, которая опи-

сывает зависимость максимального количества товара, которые потребите- ли согласны приобрести за определённый период (например, месяц, год и т.д.), от цены этого товара. Функцию спроса от цены обозначают D = f (P), Qd = f (P) или Q = D(P), где D , Qd и Q - объём спроса на рассматривае-

мый товар.

Функция предложения от цены товара описывает зависимость мак-

симального количества товара, которые продавцы готовы продать за опре- делённый период, от цены этого товара. Для функции предложения от це- ны используют обозначения S = g(P), Qs = g(P) или Q = S (P), где S , Qs и

Q - объём предложения товара.

При этом для каждого значения цены P ³ 0 объём совокупного ры- ночного спроса на товар равен сумме объёмов спроса всех потребителей. Предположим, на рынке имеется n потребителей (покупателей товара), для

каждого из них известна индивидуальная функция спроса от цены товара Di = fi (P), i = 1,...,n . Тогда можно предложить следующее правило по-

строения функции (совокупного) рыночного спроса D = f (P).
1.	Найти область определения M функции								D = f (P), равную объе-
динению областей определения M i функций Di								= fi (P),		i = 1,...,n .
2.	Доопределить каждую из функций Di							= fi (P),		i = 1,...,n	на множе-
					i (P)= íì fi (P), P Î M i ,						, i = 1,...,n .
ство M нулём, т.е. построить функции f
	î0,								P Î M / M i
3.
	Положить D = f (P) = f1 (P)+ ...+ fn (P).

Аналогично строится функция совокупного рыночного предложения

(иначе, отраслевого предложения) S = f (P) товара, если известны индиви-

дуальные функции предложения по цене товара продавцов. (Отрасль − группа фирм, продающих на рынке определённый вид товара.)

Рыночное равновесие − состояние на рынке товара, при котором ры- ночная цена устанавливается на таком уровне P* , что соответствующие объёмы спроса и предложения совпадают:

Qd* = f (P* )= Qs* = g(P* ).

27

При этом цена P* и объём Q* = Qd* = Qs* называют равновесными, а пару (P* ,Q* )- точкой равновесия.

Рассмотрим теперь производство, например, фирму, которая выпус- кает один вид продукции.

Зависимость максимально возможного объёма выпуска продукции фирмы за определённый период времени от количества затраченных для этого ресурсов называют производственной функцией. Если затраты всех ресурсов, кроме одного, постоянны, то мы имеем дело с однофакторной производственной функцией. Обозначим объём выпуска продукции через Q , а количество единственного переменного ресурса через x , тогда произ- водственную функцию можно записать в виде Q = f (x).

Часто в качестве переменных факторов производства используют: затраты труда L (или N ), измеренные, например, в человеко−часах; затра- ты капитала K , измеренные в денежных единицах; затраты материалов M , единицы измерения которых зависят от вида материалов и могут вы- ражаться в единицах веса, площади, объёма, штуках и т.д.

Однофакторные производственные функции в экономической теории используют, в частности, при анализе деятельности фирм в коротком пе- риоде. Коротким называют период времени, в течение которого объемы части факторов, используемых в производстве, не изменяются. Факторы, объемы которых в коротком периоде не изменяются, называют постоян- ными, а факторы, объемы использования которых изменяются, называют переменными. Наиболее часто единственным переменным фактором яв- ляются затраты труда L .

Функцией издержек (затрат) называют функцию, которая выража- ет зависимость между объёмом произведённой продукции Q и минималь- но необходимыми издержками её производства. Функцию обозначают

C = C(Q) или C = f (Q).

Доход или выручка фирмы R от продажи Q единиц произведённого товара по цене P определяется равенством: R = P × Q .

Прибыль фирмы равна разности между выручкой и издержками:

P = R - С .

Пример 2.1. На рынке некоторого товара имеется три потребителя, известны их индивидуальные функции спроса от цены товара: D1 = 30 − 5P ,

D2 = 40 −10P , D3 = 40 − 20P . Найти функцию рыночного спроса на данный

товар.

Решение. Функция D1 = 30 − 5P является линейной. Линейная функ-

ция определена на множестве всех действительных чисел. Однако, учиты- вая ограничения на знаки экономических переменных, получим

ìP ³ 0,		ìP ³ 0,		Þ P [0; 6	],
í	³ 0	Û í	- 5P ³ 0
îD1		î30

28

область определения функции спроса первого покупателя M1 = [0; 6 ].

Аналогично для D2			= 40 −10P :
ìP ³ 0,		Þ M 2	= [0; 4 ];
í	-10P ³ 0
î40
для D3 = 40 − 20P :
ìP ³ 0,		Þ M 3	= [0; 2 ].
í	- 20P ³ 0
î40

Следовательно, функция рыночного спроса имеет область определе-

ния

M = [0;6]U [0; 4]U [0; 2]= [0; 6]. Доопределим на отрезок [0; 6 ]функции

индивидуального спроса, получим

2 (P) = íì40 -10P, P Î[0;4],

1 (P) = 30 - 5P "P Î[0;6];

,

f

f

0,

P Î (4;6]

P Î[0;2],

î

3 (P) = íì40 - 20P,

,

f

0,

P Î (2;6].

î

суммируя их, найдём функцию рыночного спроса

ì30 - 5P + 40 -10P + 40 - 20P, P Î[0;2],

ì110 - 35P,

P Î[0;2],

D =

ï30 - 5P + 40 -10P,

P Î (2;4], Þ

D =

ï70 -15P,

P Î (2;4],

í

P Î (4;6]

í

P Î (4;6].

ï30 - 5P,

ï30 - 5P,

î

î

2.8. Для следующих функций общих (суммарных) издержек произ-

водства:

10

а) C = q + 2;

б)C = e0,5q + 2

;

в) C =

400 − q

(здесь С − общие издержки, а q − количество выпускаемой продукции) найти области определения и множества значений.

2.9. Допустим, что функция общих издержек некоторой производ- ственной фирмы C = f (q), где q − число изготовленных в месяц изделий, задана таблично:

Число изделий в месяц (шт.)	0	1	2	3	4	5
Общие издержки в месяц (тыс. руб.)	0	20	30	40	60	80

Найти её область определения D f и множество значений E f .

2.10. На рынке некоторого товара имеется три продавца, известны их индивидуальные функции предложения от цены товара: S1 = −12 + P ,

S2 = −16 + 4P , S3 = −10 + 5P . Найти функцию рыночного предложения на

данный товар.

2.11. Предложение на рынке некоторого товара характеризуется за- висимостью Q = P −1, а точка рыночного равновесия: Q* = 6 ед., P* = 7 д.

29

ед. Найти соответствующую линейную функцию спроса от цены товара, если известно, что объём спроса равен 0 ед. при цене 19 д. ед.

2.12. В предлагаемых двух вариантах определить точку рыночного

	равновесия и величину избытка (						s = Qs	− Qd ) или дефицита ( d = Qd − Qs )
	товара при следующих уровнях цены: а)							P1 = 4 д. ед., б) P2 = 7 д. ед.:
	1) Qd =	5		, Qs =	6	;	2) Qd = 3 − 2P , Qs = 2P +1.
		P −1			9 − P

2.13.Объём спроса населения на данный товар равен 20 и 50 еди- ницам при уровнях цены на товар 160 и 100 д. ед. соответственно. Предпо- лагая линейную зависимость между объёмом спроса и ценой, найти функ- цию спроса, её область определения и множество значений. Построить кривую спроса.

2.14.Объём предложения фирмы на данный товар равен 10 и 20 единицам при уровнях цены на товар 25 и 45 д. ед. соответственно. Пред- полагая линейную зависимость между объёмом предложения и ценой, най- ти функцию предложения, её область определения и множество значений. Построить кривую предложения.

2.15.Производится закупка товара. Известно, что при закупке боль- ших партий товара часто производится оптовая скидка. Пусть она опреде- ляется следующим образом: если покупается партия в количестве менее 100 штук, цена будет 2 д. ед. за штуку, если от 100 до 999 штук, цена будет 1,95 д. ед. за штуку, если не менее 1000, то цена будет 1,9 д. ед. за штуку условного товара.

Найти функцию f (q), определяющую стоимость произвольной пар-

тии рассматриваемого товара. Найти её область определения. Вычислить стоимость партий из 50 штук,100 штук, 700 штук, 1200 штук.

2.16. В демонстрационном зале осуществляется продажа автомоби- лей популярной марки N. Объём продаж составляет не более 1000 автома- шин в год. Традиционно закупки автомобилей производятся у одного и то- го же поставщика. Стоимость подачи каждого заказа составляет 5000 д. ед. Если размер заказа меньше, чем 50 автомобилей, то цена покупки одного автомобиля составляет 60000 д. ед. Для заказов, размер которых колеблет- ся от 50 до 99 автомашин, предоставляется скидка на закупочную цену в 1,5%. Заказам, размер которых составляет 100 и более автомобилей, соот- ветствует скидка, равная 3% (скидка считается от цены 600000 д. ед.).

Найти функцию f (q), определяющую стоимость произвольной пар- тии автомобилей.

3. Обратные функции. Пусть задана функция y = f (x) с областью определения X и множеством значений Y . Обратной к функции y = f (x) называют функцию x = f −1 (y) (вообще говоря, многозначную!), которая каждому значению y Y ставит в соответствие множество решений x

уравнения

30