Математика в экономике, сборник задач

Известны методы определения коэффициентов разложения (4.8). При- ведём обе части равенства (4.8) к общему знаменателю и, приравнивая затем числители получившихся дробей, придём к тождеству, в обеих частях которо-

го будут находиться многочлены. По методу неопределённых коэффициентов

далее следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества, в результате получим систему линейных уравнений относи- тельно коэффициентов разложения. Решив её, найдём коэффициенты. Можно составить систему уравнений для определения коэффициентов другим спо- собом, придавая в тождестве переменной x n различных значений. Обычно, если многочлен Qn (x) имеет действительные корни, целесообразно полагать x равным этим корням. Часто бывает полезным комбинировать рассмотренные способы.

2. Интегрируемость рациональных функций. Рациональные функции являются интегрируемыми в своих областях определения.

∙Целые рациональные функции (многочлены) интегрируются очевид- ным образом.

∙Интегрирование неправильных рациональных дробей сводится к ин-

тегрированию целых рациональных функций и правильных рациональных дробей.

∙Интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интег- рированию простейших дробей.

∙Каждая из простейших дробей интегрируется в элементарных функ-

циях:

1) ò

A

dx = Aln

x - a

+ C ;

x - a

2) ò

A

dx =

A

×

1

+ C (n Î N, n >1) ;

(x - a)

n

1- n

n−1

(x - a)

Mx + N

M

(2x + p)+ N - M

p

M

d (x

2

+ px + q)

3) ò

dx =

ò

2

dx =

ò

+

2

(x2 + px + q)

(x2 + px + q)

(x2 + px + q)

2

æ

Mp ö

dx

M

ln(x

2

+ px + q)+

+

ç N -

÷ò

=

2

æ

2

p

p

2

ö

p

2

2

è

ø

ç

+ 2

x

+

÷

+ q -

ç x

2

4

÷

4

è

ø

æ

p

ö

p

p

p

dç x

+

÷

M

ln(x

+ q)+

N -

M

x +

æ

ö

2

è

ø

2

2

2

+ ç N -

M ÷ò

=

+ px

arctg

+ C .

2

p

2

p2

2

æ

ö

p2

è

ø

p2

ç x

+

÷

+ q

-

q -

q -

2

4

4

4

è

ø

121

æ

p ö

Mx + N

M

d (x2

+ px + q) æ

p

d

ç x +

÷

ö

2

è

ø

4) ò

dx =

ò

+ ç N -

M ÷ò

=

n

2

n

2

æ

æ

p ö2

p2

ö

n

(x2 + px + q)

(x2 + px + q)

è

ø

ç

ç x +

÷

+ q -

÷

ç

è

2

ø

4

÷

M (x2 + px + q)1−n

è

ø

æ

p

ö

æ

p ö

, n N,n >1.

Здесь

æ

p ö

ин-

+

ç N -

M ÷

× Jn ç x +

÷

Jn

=

Jn ç x +

÷

2

1- n

2

2

è

ø

è

2 ø

è

ø

теграл, для вычисления которого в примере 4.4 получена рекуррентная фор- мула.

Напомним, в интегралах 3), 4)

p2

- 4q < 0.

Пример 4.5. Выделить целые части следующих дробей:

1)

x3 + x +1

;

2)

x4 - 3x2

- 3x - 2

.

x2 +1

x3 + x +1

x(x2 +1)+1

1

x3 - x2 - 2x

Решение.1)

=

= x +

.

x2 +1

x2 +1

x2

+1

2) Произведём деление многочленов "уголком":

_ x4 - 3x2 - 3x - 2| x3 - x2 - 2x

x4 - x3 - 2x2

x +1

_ x3 − x2 − 3x − 2

x3 −x2 − 2x

с учётом этого

− x − 2,

x4 - 3x2 - 3x - 2

= x +

1-

x + 2

.

x3 - x2 - 2x

x3

- x2

- 2x

Пример 4.6. Разложить данные дроби на простейшие:

x

1)

1

;

2)

.

(x -1)2 (x2 + 2x + 2)

x2 - 5x + 6

Решение.

1)

Так как x2

- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), то искомое разложение

имеет вид

A

B

1

.

=

+

x2 - 5x + 6

(x - 2)

(x - 3)

Приведём дроби к общему знаменателю и, приравнивая числители дро-

бей, получим

A(x − 2)+ B(x − 3) = 1

или

(A + B)x − (2A + 3B) = 1.

(4.9)

По методу неопределённых коэффициентов составим систему, прирав- нивая коэффициенты при одинаковых степенях x :

122

ì	0	:2A + 3B = -1,		ìA = -B,			ìA =1,
ïx			Û			Û
í	1			í	B = -1.		í	B = -1.
ï		: A + B = 0.		î			î
îx

Подставим найденные значения коэффициентов, выпишем ответ:

1

1

1

.

=

-

x2 - 5x + 6

(x - 2)

(x - 3)

Замечание. Коэффициенты разложения можно найти иначе: полагая в

тождестве (4.9)

x = 3, получим

A = 1;

полагая x = 2, найдём

B = −1.

2) Поскольку дискриминант квадратного трёхчлена

в знаменателе

p2 - 4q = -4 < 0,

то разложение дроби на простейшие имеет вид

x

A

B

Cx + D

(x -1)2 (x2 + 2x + 2)=

+

+

(x2 + 2x + 2),

(x -1)

(x -1)2

отсюда придём к тождеству:

x = A(x -1)(x2 + 2x + 2)+ B (x2 + 2x + 2)+ (Cx + D)(x -1)2 .

При x = 1

имеем

5B = 1,

т.е. B =

1

. С учётом этого после раскрытия

5

скобок и приведения подобных тождество примет вид

x = (A + C)× x	3	æ	1	ö
		+ ç A +		+ D - 2C ÷	×
			5
		è		ø

	x2	æ 2		ö	æ 2		ö
		+ ç		+ C - 2D÷	× x + ç		+ D - 2A÷ .
			5			5
		è		ø	è		ø

Для определения трёх оставшихся коэффициентов составим систему, приравнивая в тождестве коэффициенты при любых трёх одинаковых степе- нях x :

ì

3

:A + C = 0,

ì

ìC = -

1

,

25

ïx

ï C = -A,

ï

ï

1

ï

1

ï

8

ï

2

ï

ï

íx

:A +

+ D

- 2C

= 0,

Û

í D = -3A -

,

Û

íD = -

,

5

5

25

ï

ï

ï

1

ï

1

2

ï

1

ï

ïx

:

+ C - 2D =1.

ï

A =

.

ïA =

.

5

25

25

î

î

î

Таким образом, имеем

x

1

+

1

x + 8

.

(x -1)2 (x2 + 2x + 2)

=

-

25(x2 + 2x + 2)

5(x -1)2

25(x -1)

Пример 4.7. Найти:

1) ò

dx

;

2) ò

x -1

dx.

2x2

+ 8x + 8

x2 + 2x

+ 5

Решение. 1) Подынтегральная дробь является правильной и, так как 2x2 + 8x + 8 = 2(x + 4)2 , то она является простейшей:

ò

dx

=

1

ò

dx

=

1

ò

d(x + 2)

= -

1

(x + 2)−1

+ C = -

1

+ C .

2x2 + 8x + 8

2

(x + 2)2

2

(x + 2)2

2

2(x + 2)

123

2) Подынтегральная дробь, очевидно, является правильной. Дискрими- нант квадратного члена в знаменателе p2 − 4q = 4 − 20 = −16 < 0 , дробь про- стейшая типа 3):

x −1

1 2(x +1)− 4

1

d(x2 + 2x + 5)

dx

ò

dx =

ò

dx

=

ò

− 2ò

(x2 + 2x +1)+ 4

=

x2 + 2x + 5

2

x2 + 2x + 5

2

x2 + 2x + 5

1

ln(x2 + 2x + 5)− 2ò

d(x +1)

=

1

ln(x2

+ 2x + 5)− arctg

x +1

+ C .

2

(x +1)2 + 22

2

2

Пример 4.8. Найти:

1

xdx

1)

ò

dx;

2)

ò

(x −1)2 (x2 + 2x + 2).

x2 − 5x + 6

Решение. Подынтегральные дроби правильные, воспользуемся разложе-

нием их на простейшие (см. пр.4.6) .

C(x − 3)

1) ò

1

dx = ò

dx

−

ò

dx

= ln

x − 3

− ln

x − 2

+ lnC = ln

;

x2 − 5x + 6

x − 3

x − 2

(x − 2)

xdx

1

dx

1

dx

1

x + 8

2)

ò

(x −1)2 (x2 + 2x + 2)=

ò

+

ò

−

ò

(x2 + 2x + 2)dx =

25

(x −1)

5

(x −1)2

25

1

1

1

2x + 2

7

d(x +1)

1

x −1

−

1

−

=

ln

x −1

−

−

ò

(x2 + 2x + 2)

dx −

ò

=

ln

25

5(x −1)

50

25

(x +1)2 +1

25

5(x −1)

−

1

ln(x2

+ 2x + 2)−

7

arctg(x +1)+ C =

50

25

(x −1)2

1

7

arctg(x

+1)−

1

ln

(x2 + 2x + 2)

−

+ C .

50

25

5(x −1)

Пример 4.9. Найти: 1)

x3 + x +1

x4

− 3x2

− 3x − 2

ò

dx ;

2)

ò

dx.

x2

+1

x3 − x2 − 2x

Решение. В обоих примерах подынтегральные дроби неправильные, це- лые части дробей выделены ранее при решении пр. 4.5:

x2

2

x3

x3 + x +1

dx

x2

1) ò

dx = ò xdx + ò

=

+ arctgx + C .

x2 +1

2

x2 +1

2) ò

x4 − 3x2 − 3x − 2

dx = ò(x +1)dx − ò

x + 2

dx =

x3 − x2 − 2x

x3 − x2 − 2x

+ x − ò

x + 2

dx .

x3 − x2 − 2x

Дробь

x + 2

правильная.

Преобразуем знаменатель:

x3 − x2 − 2x

− x2 − 2x = x(x2 − x − 2)= x(x − 2)(x +1). Разложим дробь на простейшие:

x + 2

=

A

+

B

+

D

.

x3 − x2 − 2x

x −

2

x +1

x

Отсюда придём к тождеству

124

x + 2 = A(x - 2)×(x +1)+ B × x ×(x +1)+ D × x ×(x - 2).

Полагая в тождестве x = 0, получим A = −1; при

x = −1 найдём

при x = 2 вычислим

B =

2

. Подставляя найденные значения, получим

3

x4

- 3x2 - 3x - 2

x2

æ

1

2

1 ö

x2

ò

=

+ x -

ò

ç-

+

+

÷dx =

+ x + ln

x

x3 - x2 - 2x

2

x

3(x -

2)

3(x +1)

2

è

ø

2

1

x2

1

Cx3

.

-

ln

x

- 2

-

ln

x +1

+ ln C =

+ x +

ln

3

3

2

3

(x - 2)2 (x +1)

Пример 4.10.*

ò

xdx

.

x 4

+ 6x 2 + 5

t = x2 , dt = 2xdx, получим

Решение. Сделаем подстановку

ò

xdx

=

1

ò

dt

= 1

ò

dt

.

x 4 + 6 x 2 + 5

2

t 2 + 6t + 5

(t + 1)(t + 5)

2

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

1

=

A

+

B

Þ 1

= A(t + 5)+ B(t +1).

(t +1)(t + 5)

(t +1)

(1+ 5)

D = 13 ;

-

Подставим				t = -1Þ A =						1		;	t = -5Þ B = -				1	. С учётом этого
										4							4				C (t + 1)
1			dt			1	æ 1					1			1				1
														ö		(ln (t + 1)		- ln (t + 5))+ ln C =
		ò			=		ò ç		-					÷dt =						ln		.
2			(t + 1)(t +	5)		8					t +		5		8				8		(t + 5)
							è t + 1							ø

Возвращаясь к старой переменной, получим

xdx

1

C (x 2 + 1)

ò

=

ln

.

x 4 + 6 x 2 + 5

8

x 2 + 5

Найти интегралы.

4.106. ò

dx

4.107.

dx

.

ò

.

(2x + 3)

3- x

4.109. ò

dx

.

4.110.

ò

dx

.

3

2x2 + 4x +

2

(5x +1)

4.112. ò

dx

.

4.113.

ò

dx

.

x

2

- 4x

+ 5

x

2

+ 2x + 2

4.115. ò

1

dx.

4.116.

ò

x

dx.

x ×(x + 5)

(x + 3)(x + 2)

4.118. ò

dx

.

4.119.

2 x + 7

ò

dx.

x2

+ 4x - 5

x 2

+ x − 2

4.108. ò dx .

(x + 5)4

dx

4.111. ò x2 - 6x + 9.

x − 4

4.114. ò (x - 2)(x - 3)dx.

4.117.	ò		2x -1		dx.
			(x -1)(x - 2)
4.120. ò			7 x - 6	dx.
		2x 2 - 6x + 4

125

3x + 2

4.122. ò

3x2

+ 2x - 3

dx.

4.123. ò

dx

.

4.121. ò

dx.

x ×(x -1)(x +1)

(x -1)×(x + 2)(x +

3)

2 x 2 + x − 3

4.124. ò

x 2 + 2

4.125. ò

3x − 2

dx.

4.126. ò

x + 2

dx.

dx.

(x +1)(x2

- 9)

x 3 + x 2 − 2 x

x3 - 2x2

4.127. ò

x2dx

4.128. ò

(11x +16)dx

.

5× x -8

.

4.129. ò

dx.

(x +1)(x + 3)2

(x -1)(x + 2)2

x3 - 4x2 + 4x

4.130. ò

xdx

4.131. ò

dx

.

4.132. ò

x

.

(x +1)2

(x2 +1)

dx.

x3 +1

x 3

− 8

x3

4.134. ò

x4

+ 2

4.135.

x 3

+ 2

4.133. ò

dx.

dx.

ò

dx.

x3

− x 2

x3

− 4 x

x - 2

4.136.

ò

(x + 1)3

4.137. ò

x

3 + 4

dx.

4.138.

ò

3x3 + 2 x − 3

dx.

2

dx.

3

x

x

2

x

− x

− x

− 6x + 8

4.139.

ò

3x3 + x 2 + 15 x + 4

dx.

4.140. ò

x 4 + 3x3 + 3x 2 − 5

dx.

x3 + 4 x

x3 + 3x 2 + 3x + 1

x + 4

(x +1)dx

4

+ 1

4.141. ò

dx.

4.142.

ò

.

4.143. ò

x

dx.

3

+ 6 x

2

+ 11x

+ 6

4

2

x

x

+ 2x

4

+1

x

− 1

4.144. ò

5x + 3

dx.

4.145. ò

x + 1

dx.

4.146.* ò

dx

.

(x

2

2

+ 2)

x

+

4 x

+ 4

x

+

1

4.147. Используя различные приёмы, найти интегралы.

1)

ò

xdx

;

2)

x 2

− x

dx ;

3)

x 7

dx ;

ò

ò

(x 4 + 1)(x 4 − 1)

x 4 + 6 x2 + 5

(x + 1)9

4)

ò

dx

;

5)

ò

dx

;

6)

ò

x5 + x 2

dx .

x(x 6 +

2

7

5

1)

x

+ x

x

+ x

− 2

4.5. Интегрирование тригонометрических функций

Пусть R(u,v)−

рациональная

функция

двух переменных

u, v ,

т.е.

функция, содержащая переменные u,v

и постоянные, над которыми произво-

дятся операции сложения, вычитания, умножения и деления.

1.

Интегралы вида ò R(sin x,cos x)×dx

сводятся к интегралам от рацио-

нальных функций при помощи универсальной тригонометрической подста- новки:

	æ x			ö	= t, - π < x < π , Þ
	tgç			÷
	è 2			ø
dx =	2dt	.
	1+ t2

	sin x =			2t	,	cos x =	1		- t2	,	x = 2arctgt ,
		1		+ t2			1		+ t2
											(4.10)

126

Если:

1)

R(- sin x,cos x) = - R(sin x,cos x), то

удобно положить cos x = t, 0 < x < π ;

2)

R(sin x,−cos x) = − R(sin x,cos x), то

sin x = t,

-

π

< x <

π

;

3) R(- sin x,-cos x) = R(sin x,cos x), то

2

2

tg(x) = t, - π

< x <

π

Þ

sin

2 x =

t2

, cos2 x =

1

,

x = arctgt,

dx =

dt

.

1

+ t

2

1

+ t

2

1

2

2

2

+ t

Пример 4.11. Найти:

1) ò

dx

;

2) ò

sin xdx

;

3) ò

2tgx +3

dx ;

4cos x + 3sin x + 5

cos2 x - 2cos x + 5

sin2 x + 2cos2 x

4) òctg

5

xdx ;

5)

ò

dx

;

cos3 x

6)

ò sin6 x dx .

sin2 x ×cos4 x

Решение. 1) Положим

tg

x

= t . С учётом (4.10)

имеем

dx

2

dt

dt

dt

ò

= 2ò

= 2ò

=

2ò

=

4cos x + 3sin x + 5

æ

1- t

2

2t

ö

2

)

t

2

+ 6t + 9

(t + 3)

2

ç

÷

×

2 + 3×

2 + 5

ç4

1+ t

1+ t

÷(1+ t

è

ø

2

+ C

= -

2

+ C .

-

t + 3

tg

x

+ 3

2

2) Подынтегральная функция является нечётной относительно

sin x .

Положим

cos x = t,

− sin xdx = dt ,

получим

(t -1)

ò

sin xdx

= - ò

dt

- ò

dt

1

=

= -

2 arctg

2

+ C

=

cos2 x - 2cos x + 5

t2 - 2t + 5

(t -1)2 + 4

- 1 arctg (cos x -1) + C .

2

2

3) Подынтегральная функция удовлетворяет условию 3). Применим

подстановку

tgx = t,

dx

= dt :

2

x

cos

2tgx + 3

2tgx +3

dx

2t + 3

t

dt

ò

dx = ò tg2 x + 2

×

= ò t2 + 2 dt = 2ò

dt + 3ò

=

sin2 x + 2cos2 x

cos2 x

t2 + 2

t2

+ 2

ln(t2 + 2)+

3

arctg

t

+ C = ln(tg2 x + 2)+

3

arctg tgx

+ C.

2

2

2

2

4) Положим сtgx = t,

x = arcctgt ,

dx = -

dt

, получим

1

+ t2

t5

t5

+ t3 - t3 - t + t

t

t4

t2

òctg5xdx = - ò

dt = - ò

æ

ö

dt

= - òçt3 - t +

÷dt = -

+

-

t

2

t

2

+1

t

2

4

2

+1

è

+1ø

1 ln(1 + t2 )+ C = - ctg4 x + ctg2 x

-

1 ln(1+ ctg2 x)+ C = - ctg4 x + ctg2 x + ln

sin x

+ C .

2

4

2

2

4

2

127

5) Данный интеграл можно найти, используя подстановку tgx = t , однако проще предварительно преобразовать подынтегральную функцию, используя

тригонометрическую единицу

cos2 x + sin2 x = 1:

ò

dx

= ò

(sin2 x +cos2 x)2 dx

= ò

sin4 x + 2sin2 x ×cos2 x + cos4 x

dx =

sin

2

x

×cos

4

x

sin

2

x ×cos

4

x

sin

2

x ×cos

4

x

òtg2 x ×

dx

+ 2ò

dx

+ ò

dx

= tg3 x

+ 2tgx - ctgx + C ;

2

2

x

2

cos

x

cos

sin

x

3

6) ò

cos3 x

dx =

ò

(1 - sin2

x)cos x

dx = ò

d sin x

-

ò

d sin x

= -

1

-

1

+ С .

sin

6

x

sin

6

x

sin

6

x

sin

4

x

5sin

5

x

3sin

3

x

4.148.Доказать,

что при помощи универсальной

тригонометрической

подстановки

tg

x

= t

интеграл

ò R(sin x,cos x)×dx

всегда приводится к инте-

2

t .

гралу от рациональной функции переменной

4.149.Указать наиболее подходящие подстановки для рационализации

функций вида:

а) ò R(sin x)cos xdx ;

б) ò R(tgx)×dx ;

г) ò R(sin2 x,cos2 x)×dx;

д) ò R(cos x)sin xdx ;

4.150.Найти интегралы:

1) ò

dx

;

2) ò

dx

;

3- 2sin x + cosx

3cosx + 2

4) ò

1+ tgxdx;

5) ò

dx

;

2

2

sin2x

sin x +8sinx ×cosx +12cos x

sin x +sin3 x

8)* ò

1+ ctgx

7) ò

dx;

dx;

cos2x

1- ctgx

10) ò

dx

;

11) ò

dx

;

2

-sin x

4sin

2

2

x

x - 7cos

13)*ò

sinxdx

;

14) ò

(cos3 x + cos5 x)dx

;

1+ sinx

2

x + sin

4

x

sin

16) ò

tgx

dx ;

17) ò

dx

;

tgx -

3

sinx(2 + cosx - 2sinx)

в) ò R(ctgx)sindx2 x ;

е) ò R(tgx)cosdx2 x ;

3)

òtg4 xdx;

6)

ò

cos3 xdx

;

2

sin

x +sin x

9)

ò

dx

;

sin x

12) ò

sin2xdx

;

2

x

1+ 4cos

15) ò

sin2xdx

;

3

2

cos x - sin x -1

18) ò

dx

.

(sin x + 4)(sin x +

1)

2. Интегралы вида òsinm x cosn xdx , где m и n − целые числа, мож-

но вычислить с помощью преобразований подынтегральной функции, в част- ности, применением формул понижения:

128

sin2 x =	1 - cos2x	;	cos2 x =	1+ cos2x	;	2sin x cos x = sin 2x .
	2			2

Интегралы, содержащие произведения функций косинус и синус с раз- личными аргументами вычисляются с помощью применения формул:

1.	sinα ×sin β = 12[cos(α - β) - cos(α + β)].	2. cosα × cos β = 12 [cos(α - β) + cos(α + β)].
3.	sinα × cosβ = 12 [sin(α - β) + sin(α + β)].

Пример 4.12 . Найти òsin4 x ×cos6 xdx .

Решение. òsin

4

x

6

xdx =

1

òsin

4

2x

æ1+ cos 2x ö

×dx =

1

ò(1 - cos4x)

2

dx +

×cos

×ç

÷

16

2

128

è

ø

+

1

òsin4 2xd sin 2x =

1

ò dx -

1

òcos4xdx +

1

òcos2

4xdx +

1

sin5 2x =

x

-

128

64

128

320

128

64

1

sin 4x +

1

ò(1+ cos8x)dx +

1

sin5 2x =

3

x -

1

sin 4x +

1

sin 8x +

256

256

320

256

2048

256

1

sin5 2x + С .

320

4.151.Найти интегралы:

1) òcos

4

x

dx ;

2)

òsin6 xdx ;

3)

òsin2 x cos4 xdx ;

2

òsin5x cos xdx ;

4) ò

dx

;

5)

6)

òcos

x

cos

x

dx ;

sin

4

x cos

4

x

2

3

7) òsin10xsin15xdx ;

8)

òcos x cos2x cos3xdx ;

9)

òsin2x cos2 3xdx.

4.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Пусть R(x1,..., xn ) -

рациональная функция

n переменных

x1,..., xn , т.е.

функция, содержащая переменные

x1,..., xn и постоянные, над которыми про-

изводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления.

æ

ö

1. Интеграл вида

ò

ax + b

ax + b

, где

k, m , ..., m - натураль-

Rç x, m1

,..., mk

÷dx

è

cx + d

cx + d ø

1

k

ные, a, b, c, d - действительные числа, ab - bc ¹ 0,

сводится к интегралу от ра-

циональной функции при помощи подстановки ts =

ax + b

, где

s − наимень-

шее общее кратное чисел

m1, ..., mk .

cx + d

В частности, для:

ò R(x, m1

,..., mk

)dx

используется подстановка

ax + b

ax + b

ts = ax + b;

ò R(x, m1

,..., mk

)dx

используется подстановка ts = x.

x

x

129

Пример 4.13. Найти:

3

2

6

dx

dx

1) ò

x +

x

+

x

dx ;

2) ò

;

3) ò

.

3

-

4

(2x +1)2

(x -1)3(x + 2)5

3

2x +1

(

+

x

)

x 1

Решение. 1) Подынтегральная функция является рациональной относи-

тельно

x, 3

и

6

;

m1 = 3,

m2

= 6

Þ s = 6.

Применим

подстановку

x

x

x = t6 ,

dx = 6t5dt , получим

x + 3

x2

+

6

t6 + t4 + t

t5

+ t3 +1

dt

ò

x

dx = 6ò

× t5dt =

6ò

dt = 6òt3dt + 6ò

=

(

3

)

6

(1

2

)

t

2

+1

t

2

+1

t

+

t

x 1+

x

3 t 4

3 3

+ C .

=

+ 6arctgt + C =

x2

+ 6arctg6

x

2

2

2)

Подынтегральная

функция

является

рациональной

относительно

3

и

Þ

m1 = 3,

m2

= 2

Þ

s = 6 .

Применим подстановку

2x +1

2x +1

2x +1 = t6 ,

dx = 3t5dt , получим

dx

t5dt

t

2dt

t2

-1+1

æ

1 ö

ò 3

2

ò

4

3

ò

ò

òè

ø

= 3

t - t

= 3

t

=

3

t -1

dt = 3 çt +1

+

t

÷dt =

(2x +1) -

2x +1

-1

-1

=32 t 2 + 3t + 3 × ln t -1 + C = 32 × 32x +1 + 3 × 62x +1 + 3 ×ln 62x +1 -1 + C .

3)Преобразуем интеграл:

ò

dx

= ò

dx

.

4

(x

3

(x +

2)

5

x + 2

-1)

(x + 2)(x -1)4

x

-1

Подынтегральная функция является рациональной относительно пере-

t4 =

x + 2

менной

x

и дроби

4

x + 2

.

Сделаем подстановку

,

отсюда найдём

x -1

x -1

3

12 ×t3

3

3t4

x =

+1, dx = -

dt ,

x -1 =

x + 2 =

, с учётом этого

t4 -1

t4 -1

(t 4

-1)2

t 4 -1

dx

12t3 × (t 4 -1)2

4 dt

4

4

x -1

ò

= - ò

(t 4 -1)2 ×3t 4 ×3t

dt = -

ò

=

+ C =

4

+ C .

(x + 2)(x -1)4

x + 2

3

t2

3t

3

x + 2

x -1

4.97.

Найти интегралы:

dx

xdx

dx

1) ò

(3

+ 4)

;

2)

ò

;

3) ò

(4

-1)

;

x

x

3

2x − 3

x + 3

x + 3

2

dx

+ 3

2 - x

5)

ò

;

x

x

4) ò

×3 2 + xdx

;

6) ò

dx;

(1− x)

(2 - x)2

1− x2

4

+ 6

x5

x7

130