Математика в экономике, сборник задач

– мгновенный или точечный темп прироста зависимой переменной y

(функции f (x)) в точке x ; совпадает с логарифмической производной за-

висимой переменной y (функции f (x)) в точке x .
7. Теоретическая		или			точечная эластичность зависимой перемен-
ной y (функции	f (x)) в точке x :
Ex (y)= lim	y y	=	dy	×	x
			dx		y
x→0 Dx x

	или	f (x) f (x)		df (x)			x
	Ex ( f (x)) = lim		=			×			.
		Dx x		dx			f (x)
	x→0
	Эластичность -	это безразмерная					величина, равная пределу при

x → 0 отношения относительного приращения функции к относительно- му приращению аргумента или, что то же самое, пределу при x → 0 от- ношения процентного изменения функции к процентному изменению ар- гумента. Приближённо эластичность функции показывает, на сколько процентов изменится значение функции в данной точке x при изменении аргумента на один процент.

Если Ex ( f (x)) >1, то функцию f (x) называют эластичной; если

Ex ( f (x)) <1, то неэластичной; если Ex ( f (x)) = 1, то нейтральной в точке

x .

Пусть, например, Q = D(P) − функция спроса от цены товара. Тогда: а) спрос Q = D(P) эластичен по цене (EP (Q) >1);

б) спрос Q = D(P) неэластичен по цене (EP (Q) <1);

в) спрос нейтрален при условии							EP (Q)			= 1.
3.80. Функция		y = f (x)задана таблично:
	x	10	20	30		40			50
	y	35	150	210		250			270

Найти : 1) средний прирост, 2) относительный прирост функции, 3) темп прироста в следующих диапазонах изменения аргумента: а) от 10 до

20 ; б) от 20 до 30; в) от 30 до 40; г) от 40 до 50.

3.81. Для заданных функций найти: а) мгновенный прирост, б) мгно- венный темп прироста, в) точечную эластичность и вычислить значения этих характеристик в указанных точках:

	1)	y = 5 − 2x,	x1 = 1, x2 = 2;		2)	y = x2 + 3x +1,				x1 = 1, x2 = 3;
	3)	y = x4e−x ,	x = 1,	x = 4;	4)	y =	x −1		,	x = 3,5;	x = 5;
							x - 3
			1	2						1	2

71

5) y = ln(1+ x)+1,

x = 0,

x

2

= e −1;

6)

y = 2sin 0,5x,

x

= π ,

x

2

= π;

1

1

2

æ 1 ö1− x

x

2

7) y = ç ÷ + 3,

x1 = 1, x2 = 4;

8)

y =

,

x1

= e, x2 = e

.

ln x

è e ø

R(x)

3.82. Показать,

что

между

мгновенным

темпом

роста

(см.п.2.2.4) и мгновенным темпом прироста r(x) дифференцируемой

функции y = f (x) имеется следующая зависимость: R(x)= er(x) .

3.83. Доказать,

что

при всех

x > 0

средняя величина

степенной

функции прямо пропорциональна предельной.

3.84. *

Для линейной функции

y = a + bx

доказать следующие ут-

верждения:

a > 0, b > 0,

то при изменении x от

а) если

0 до + ∞ эластичность

возрастает от 0 до +1;

x

б) если

a < 0,b > 0,

то

при

изменении

от - a b

до

+ ∞

( - a b < x < +¥ ) эластичность убывает от + ∞ до +1;

в) если a > 0, b < 0, то при изменении x от 0 до - a b

(0 < x < - a b)

эластичность убывает от 0 до − ∞ .

Дать графическую иллюстрацию всех трёх рассмотренных случаев.

3.85. Показать, что:

y = a × xα

(здесь a, α − постоян-

1) эластичность степенной функции

ные) совпадает с показателем степени;

2)все функции одной переменной с постоянной эластичность явля- ются степенными;

3)эластичность показательной функции y = a × bx (здесь a, b − по-

стоянные) пропорциональна аргументу.

3.86. Вычислить эластичность Ex ( f (x)) функции f (x)= a × x3 , a > 0 ,

a − параметр. Используя эластичность, ответить на вопрос, на сколько про- центов изменится значение функции в произвольной точке x , если аргу- мент увеличится на 1%. Определить абсолютную погрешность, которая при этом допускается: 1) в общем случае; 2) при a = 2 .

3.87. Доказать:

1)

Ex ( f (x))= Mf (x);

2) Ex ( f (x)) = d (ln f (x))

;

Af (x)

d(ln x)

3) Eax (b × f (x)) = Ex ( f (x)) (a > 0,

b > 0− параметры);

1

4)

если x = f −1(y )− функция, обратная y = f (x), тогда Ey

(x)=

;

Ex (y)

æ f (x)

5)

Ex ( f (x)× g(x))= Ex ( f (x))+ Ex (g(x));

ö

6) E ç

÷ = E

( f (x))- E

(g(x)).

7)

Ex (Af (x))= Ex ( f (x))- 1.

x èç g(x)

ø÷

x

x

72

3.88. Пусть задана функция y = f (x), x > 0, y > 0. Вычислить эла-

стичности Ex ( f (x)), если: 1) f (x)= 2 × x - 5, 2 ) f (x)= 23x+5 , и определить, при каких значениях переменной x функции являются эластичными, а при

каких − неэластичными.

3.89. По известной величине среднего

продукта AP(x)

ресурса x

найти совокупный TP(x) и предельный MP(x) продукты:

(0,2)x−5

1 x

AP(x)=

3

1

1)

AP(x)= 0,5 + ln(2 + 3x)

;

2)

+

-

;

x

x3 4

x

AP(x)= 2 -

5

3arctg0,4x .

3)

+

x

x2

x

производства C (д. ед.) и

3.90. Зависимость

между издержками

объёмом

выпускаемой

продукции Q

(ед.) выражается

функцией

C = 10Q − 0,04Q3 . Определить средние и предельные издержки при объёме

продукции, равном 5 ед. Сравнить полученные результаты и определить, что произойдёт со средними издержками при увеличении выпуска продук- ции на малую величину.

3.91. Для заданных ниже вариантов функций издержек C = f (Q):

1)	C =10 + Q	; 2) C = 2ln(Q +1)+ 7 ; 3) С = arctg(2Q +1)
	3

найти предельные издержки MС и их значения при объёмах производства: 5 ед., 10 ед., 20 ед. Дать экономическую интерпретацию полученных ре- зультатов.

3.92. Для заданных ниже вариантов функций издержек C = f (Q): 1) C = 50 × Q - Q2 + 0,02 × Q3 ; 2) C = 30 + 2 × Q + 0,1Q2

а) найти мгновенный темп прироста, эластичность и их значения при объёме производства Q =10 (ед.);

б) определить, на сколько процентов (приближённо) изменятся из- держки, если объём производства возрастёт от 10 (ед.) до 10,2 (ед.).

Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

3.93.Как связаны предельные и средние затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

3.94.Найти коэффициент эластичности спроса по цене, если:

1) D =11,5× P−0,2 ;

2) D = 0,5P .

3.95.Определить, при какой цене эластичность спроса по цене равна

−0,5, если функция спроса задана уравнением D = 8 - 0,5× P ?

	3.96. Для функций спроса: 1) D = 23− 2P ; 2) D =	5		найти эла-
		P +1

стичность спроса по цене и определить, является ли спрос эластичным, нейтральным или неэластичным при следующих значениях цены: а) P1 = 4 ;

б) P2 = 7 . Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

73

3.97. Пусть функция спроса описывается формулой D = D ×e-k×P2	,
0

где D0 и k > 0 − известные величины. Найти, при каких значениях цены P спрос будет эластичным.

	3.98. Для функций предложения: 1) S = 3P − 24; 2)	S =		6	найти
			9	- P

эластичность предложения по цене и определить, при каких значениях це- ны предложение будет: а) эластичным, б) нейтральным, в) неэластичным. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

3.99. Функции спроса и предложения от цены выражаются соответ-

	ственно уравнениями: 1) D=7- P и S=P+1; 2) D =	P + 8	и S = P + 0,5.
		P + 2

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения

для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на

5% от равновесной. Дать экономическую интерпретацию полученных ре-

зультатов.

3.100. На рынке имеется три покупателя со следующими функциями спроса:

D1 = -P + 6 ; D2 = -3P + 15 ; D3 = -P + 8. Определить эластичность

рыночного спроса по цене, когда цена на рынке будет равна 4,5 д. ед. 3.101. При цене моркови 8 д. ед. за 1 кг на рынке было три продавца,

имеющих прямолинейные функции предложения. Первый из них с эла-

стичностью EP1 (S(8)) = 1,6 предлагал 10 кг, второй с EP2 (S(8)) = 2 предла-

гал 12 кг, а третий с EP3 (S(8)) = 1 предлагал 40 кг моркови. Какова будет отраслевая эластичность предложения по цене при P =12 д. ед.

3.102. Доход фирмы-монополиста от реализации товара в количестве Q вычисляется по формуле R(Q) = P(Q)×Q , где PD = P(Q)- функция цены

от спроса на данный товар. Доказать, что верно равенство:

æ	-	1	ö
MR(Q)= Pç1		η	÷,
è			ø

где η = Ep (QD )− эластичность спроса по цене товара. Проанализируйте из-

менение дохода с увеличением цены на товар при различных вариантах эластичности спроса.

3.103. Известно, что спрос на рынке рассматриваемого товара полно- стью удовлетворяется. Общий доход от продажи товара

R(Q) = 375×Q - 0,2×Q3 , где Q − количество реализованного товара. Найти функцию спроса от цены товара. Определить, в каких пределах спрос эла-

74

стичен. Что надо делать, чтобы доход возрастал, если начальная цена равна а) 300 д. ед., б) 200 д. ед.?

3.104. Функция потребления C = f (I ) описывает зависимость рас- ходов индивидуального потребителя в зависимости от величины дохода I. (Заметим, что речь идёт о непроизводственных или текущих "бытовых" расходах за определённый период времени, которые не связаны со сбере- жением, инвестированием и производством.) Для функции потребления

C = 5 + 0,5 × I + 0,5I найти предельную склонность к потреблению (MPC = f ′(I )) и эластичность потребления по доходу (EI (C)), а также вы-

числить их значения, соответствующие доходу в 16 д. ед. Дать экономиче- скую интерпретацию полученных результатов.

3.105. Для функции потребления C = 8 + 0,75× I + I :

1)определить равновесный уровень дохода I *, который обеспечива- ет совпадение доходов и расходов (потребления);

2)вычислить предельную склонность к потреблению и эластичность потребления по доходам при найденном равновесном уровне дохода I *.

Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

3.106. Спрос населения на продовольствие характеризуется постоян- ной эластичностью по доходу EI (D) = E . Известно, что в истекшем году

расходы населения на продовольствие составляли r% от дохода. В теку- щем году ожидается рост доходов населения на δ % . Определить, какую

часть своего дохода население будет тратить на продовольствие в текущем году, если цена на него, а также общий уровень цен останутся неизменны- ми.

Решить задачу: 1)		в общем виде; 2)	при EI (D) = 0,8 ; r			=50%;
δ =10% .
3.107. Л.	Торнквистом были предложены следующие варианты
функций спроса потребителей D , зависящих от дохода I на: а) малоцен-
ные товары D = α × I ×(I + β ) ; б) товары первой необходимости D =							α × I			;
							I + β
	I 2 +γ
в) товары второй необходимости (относительной роскоши)					D = α ×(I -γ )					;
		α × I ×(I -γ ). В них			I + β
г) предметы роскоши D =			α , β , γ − параметры,			α ,		β ,
		I + β
γ > 0 .
Для каждой из предложенных функций найти коэффициент эластич-
ности спроса по доходу.		При заданных значениях		параметров			α = 5,
β =10, γ = 15:
1) найти	коэффициент эластичности		спроса	по	доходам			при
I* = 100(д. ед.)	и определить, на сколько процентов (приблизительно)							из-

75

менится спрос на соответствующие товары, если доход увеличится на 2% от I *.

2) найти коэффициент эластичности спроса по доходам при I* = 10(д. ед.) и определить, на сколько процентов (приблизительно) изме- нится спрос на соответствующие товары, если доход уменьшится на 0,3 д. ед. от I *.

Дать экономическую интерпретацию полученным результатам. 3.108. Потребитель весь свой доход расходует только на три товара:

хлеб, колбасу и молоко. В настоящее время 20% своего дохода он расходу-

ет на хлеб, 50% - на колбасу и 30% - на молоко. Определите эластичность

спроса на молоко по доходу, если эластичность спроса на хлеб по доходу

равна – 1, а эластичность спроса на колбасу по доходу равна 2.

3.109. На рынке некоторого товара в равновесии потребляется 20 единиц блага по цене 4 д. ед., при этом коэффициент эластичности спроса по цене равен (– 0,3), а коэффициент эластичности предложения по цене равен (+0,4).

1)Вывести функции спроса и предложения при условии, что они ли-

нейны.

2)Определить равновесный объём и рыночную цену при введении потоварного налога, уплачиваемого производителями в размере 2 д. ед.

3.8. Теоремы Ролля и Лагранжа

Теорема Ролля. Если: 1) функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]; 2) дифференцируема на интервале (a,b); 3) f (a) = f (b), то

						′
существует точка c (a,b) такая, что f (с)= 0.
Точки,	в которых производная функции f (x)равна нулю, называют-
ся стационарными.								f (x) определена и непрерыв-
Теорема Лагранжа. Если: 1) функция
на на отрезке	[a,b];	2) дифференцируема на интервале (a,b), тогда суще-
ствует точка	c (a,b)	такая, что справедлива формула
			f (b)− f	(a)		= f		(c).	(3.6)
							′
			b − a

3.110. Определить, удовлетворяют ли условиям Ролля функции:

1) f (x) = x2 -1, x [−1,1];	2) f (x) = íìx,	x Î[0,1),
	î0,	x = 1;

76

3)

f (x) =

x

,

x [−1,1];

4)

f (x) =

5 - x2

,

x Î[-1,1];

x4

éπ

5π ù

f (x) = ln sin x,

f (x) = 1 - 3

x2 , x Î[-1,1];

5)

6)

x Î ê

6

,

ú

;

ë

6 û

Если да, то найти все стационарные точки соответствующей функции на заданном отрезке.

3.111. Пусть f (x) = x(x -1)× (x - 2)× (x - 3). Доказать, что все три корня

	′
уравнения f (x) = 0 действительны.
3.112. Доказать, что если функция		f (x) определена и непрерывна на от-
резке	[a, b], дифференцируема	на интервале	(a,b),	то функция
F(x) = ( f (x)- f (a))×(b - a)- ( f (b)- f (a))×(x - a) имеет по				крайней мере

одну стационарную точку на интервале (a,b).

3.113. Проверить, применима ли формула Лагранжа к функциям:

1)

f (x) = 5x2 + x - 2

на отрезке

[0,2];

2) f (x)= ln x

на отрезке [1,e];

é

1

1

ù

f (x) = 5 x

4

(x -1)

3)

на отрезке

ê-

,

ú .

2

2

ë

û

Если да, то найти фигурирующую в формуле Лагранжа

(3.6) точку c .

3.114. На кривой

y = f (x) найти точку, в которой касательная парал-

лельна хорде, соединяющей точки A и B , пояснить полученный результат

графически:

1)

y = x3 ,

A(-1,-1), B(2, 8);

2) y = 4 − x2 , A(- 2,0), B(1, 3).

3.115. Построить график функции

y =

x −1

на отрезке [0,3]. Пояснить,

почему нельзя провести касательную, параллельную хорде, соединяющей точки A(0, 1) и B(3, 2). Какое условие теоремы Лагранжа здесь наруша-

ется?

3.116. Доказать, что:

1) если производная f ′(x) тождественно равна нулю на интервале (a,b),

то функция f (x) постоянна на этом интервале;

2)если f ′(x)< 0 на интервале (a,b), то функция f (x) убывает на этом ин-

тервале;

77

3)если f ′(x) > 0 на интервале (a,b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.

3.9. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя

1. Неопределённости

0

или

∞ . Правило Лопиталя.

Если:

0

∞

1) в некоторой окрестности точки a , за исключением,

быть может,

самой точки

a

′

дифференцируемы функции f (x) и ϕ(x), ϕ (x) ¹ 0,

2) lim f (x) = lim ϕ(x) = 0

или

lim f (x) = lim ϕ(x)= ¥ и

x→a

x→a

f ′(x)

x→a

x→a

3) существует lim

,

x→a

ϕ (x)

′

тогда существует lim

f (x)

, причём

x→a ϕ(x)

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

.

ϕ(x)

ϕ′(x)

(3.7)

x→a

x→a

′

0

∞

Если

lim

f

(x)

=

(или

′

′

ϕ (x)

0

∞

), а функции f (x)

и ϕ (x) удовлетво-

x→a

′

ряют тем же условиям, что и функции

f (x)

и ϕ(x),

то равенство (3.7)

можно продолжить, перейдя к пределу отношения вторых производных

и

т.д.

1∞ ,0∞ ,∞0 . Неопределённо-

2. Неопределённости вида 0× ¥,¥ - ¥ ,

сти вида 0 ×¥ ,

∞ − ∞ приводятся к неопределённостям вида

0

или

∞

0

∞

при помощи

простейших алгебраических преобразований (см. ниже при-

меры), а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Неопределённости

вида

1∞ ,0∞ ,∞0 сводятся к

неопределённости

0 ×¥ с помощью предварительного

логарифмирования или использования

тождества f (x)g(x)					= eg(x)ln x .
Неопределённости, возникающие при вычислении односторонних
пределов, а также пределов при							x → ∞ ,		x → −∞ , x → +∞ раскрываются
аналогично.
Пример 3.11. Найти пределы:
1)	lim			x4	−16	;	2) lim	x − sin x		;
									x3
	x→2 x3 + 5x2 − 6x −16						x→0
3)	lim		ekx	, где k > 0, k - действительное, n − натуральное числа.
	x→+∞ xn

78

Решение. Убедившись, что имеет место неопределённость

применим затем правило Лопиталя:

1) lim

x

4

-16

=

0

= lim

(x

4

-16)

¢

=

x→2 x3 + 5x2 - 6x -16

0

x→2 (x3 + 5x2 - 6x -16)¢

lim

4x3

=

32

=1

3

;

- 6

26

x→2 3x2 +10x

13

2)

(x − sin x)′

1− cos x

(1− cos x)′

lim

x − sin x

=

0

= lim

= lim

=

0

= lim

0

(x3 )¢

3x2

0

(3x2 )′

x→0

x3

x→0

x→0

x→0

lim

sin x

=

0

=

1

× lim

sin x

=

1

;

6x

6

6

x→0

0

x→0

x

k ×k ×ekx

3) lim

ekx

=

∞

=

lim

k ×ekx

=

∞

=

lim

=

¥

¥

¥

¥

x→+∞ xn

x→+∞ n × xn−1

x→+∞ n ×(n -1)xn−2

00 или ∞¥ ,

=

=,...,=

lim	k n ×ekx	=¥,
	n!
x→+∞
здесь правило Лопиталя применено n раз.
	Пример 3.12. Найти: 1) lim (x2 ln x);			æ	1		1 ö
			2) lim	ç		-		÷ ;
		x→+0	x→0è x				ex -1ø

3) lim xsin x .

x→+0

Решение. 1) Здесь мы имеем неопределённость вида 0 ×¥ . Предста-

вим произведение функций в виде дроби, получив неопределённость ∞¥ ,

применим правило Лопиталя:

ln x

1

1

lim (x2 ln x)=

lim

=

lim

x

= -

lim

x2 = 0.

1

x→+0

x→+0

x→+0

2

2 x→+

0

-

x2

x3

2) Имеем неопределённость вида

∞ − ∞ . Приведём дроби к общему

знаменателю и, получив неопределённость

0

, применим правило Лопита-

0

ля:

ex -1- x

ex

ex

æ 1

1

ö

-1

1

limç

-

÷ =

lim

=

lim

= lim

=

.

ex -1

+ xex

2

x→0è x

ø

x→0 x(ex -1)

x→0 ex -1

x→0 2ex + xex

3) Здесь – неопределённость вида

00.

Положим y = xsin x , тогда

ln y = ln xsin x = sin x ×ln x.

Вычислим

79

lim ln y = lim

sin x × ln x =

lim

ln x

= lim

1/ x

=

1/ sin x

x→+0

x→+

0

x→+ 0

x→+0

- cos x / sin2 x

-

lim

sin 2 x

= -

lim

sin x

×

lim

tgx

= 0.

x

x→+0 x × cos x

x→ +

0

x→+

0

Следовательно,

lim y = lim xsinx = e0 =1.

x→+0 x→+0

3.117. Раскрыть неопределённости вида

0

или

∞

, вычислить пре-

делы:

0

∞

2) lim1-cosx

1) lim ex -1;

;

3) lim

x3 -3x2 + 2

;

x→0

x

x→0

x2

x→1 x3 -4x2 + 3

4) lim

ex -e−x

;

5) lim

π -2arctgx;

6) lim

lnx

;

1+ 2lnsinx

x→0 ln(1+ x)

x→+∞

e3/ x -1

x→ +0

7) lim

x2 -1+ lnx

;

8) lim

tgx - x

;

9) lim

lnx

,

x→1

ex -e

x→0 x -sinx

x→+∞ xn

n N ;

3.118. Раскрыть неопределённости вида 0 ×¥ или∞ − ∞, вычислить пределы:

1)	lim x × ctgπx ;
	x→0
4)	lim x ln3 x ;
	x→+0

		æ	1	ö
2)					;
	lim xçex			-1÷
	x→∞	ç		÷
		è		ø
5)	lim(ex + e− x - 2)× ctgx ;
	x→0

3) lim xn × ex ;

x→− ∞

6) lim ln x × ln(x -1);

x→1+0

æ

1 ö

æ

1

x

ö

7)

limçctgx

-

÷

;

8)

limç

-

÷

;

ln x

x→0è

x ø

x→1è x -1

ø

æ 2x

π

ö

æ

1

1

ö

9)

limç

-

÷ ;

10)

limç

-

÷.

x

x→π è ctgx

cos x ø

x→1 è x2 -1

-1ø

2

3.119. Раскрыть неопределённости вида 1∞ , 0∞ ,∞0 , вычислить преде-

лы:

			1		2) lim(tgx)1 ln x ;	3)	lim (sin x)			x	;
1)	lim	x	x	;
					x→+0		x→+ 0
	x→+∞	(π - 2x)cos x ;			5) lim(ex + x)1 x ;
4)	lim							1
						6)	lim x1− x .
	π				x→0
	x→ 2 −0						x→1+0

3.120. Установить, существуют ли пределы, применимо ли к их вы- числению правило Лопиталя и приводит ли к правильному ответу его фор- мальное применение:

	1) lim	x2 sin(1 x)		;	2) lim	2 + 2x + sin x	.
						sin x
		sin x
	x→0				x→∞ (2x + sin x)×e

80