Математика в экономике, сборник задач

ymin

= y(2)= 2; 6)

функция

имеет

две

точки

локального минимума:

xmin1

= -1; ymin1

= y(-1)=1

5

;

xmin2

= 3;

ymin2

= y(3)= -9,25

и

одну

точку

12

локального

максимума

xmax

= 0;

ymax

= y(0)= 2 ;

7)

ymin

= y(− 3)= −6,75;

= y(1)= 0,2,

ymin = y(3)= −5,4 ;

æ

1 ö

27

8) ymax

9)

ymin

= yç

÷

= -

;

10)

функция

256

è

4 ø

имеет

две

точки

локального

минимума:

xmin1

= 0;

xmin2

= 2;

ymin

= y(0)= y(2)= 0

и

одну

точку

локального

максимума

xmax

=1;

ymax

= y(1)= 1;

11)

функция

имеет

две

точки

локального

минимума:

xmin1 = -1;

xmin2 =1;

ymin

= y(-1)= y(1)= 0

и

одну

точку

локального

максимума

xmax = 0;

ymax

= y(0)=1;

12)

ymax = y(− 2)= 0 ,

ymin

= y(−1,2)= −1,10592 ;

13) ymax

= y(− 2)= −2,

ymin = y(2)= 2;

14)

ymin

= y(1)=1,5;

15) ymax = y(1)= −4 ,

ymin

= y(5)= 4 ; 16) ymax

= y(−1)=

= y(1)=1;

æ

1 ö

1

17)

ymin = yç

÷

= -

;

18)

точек

экстремума

нет;

11

è

2 ø

19)

ymax

= y(0)= 1,

ymin = y(1)= −2 ;

20) точек локального экстремума

нет,

наименьшее

значение

функции

достигается

в

точке

x = 0;

yнаим. = y(0)= 0;

æ

1

ö

1

æ

1

ö

1

21)

ymin

= yç

-

÷ = -

ymax = y

ç

÷

=

;

2

2

2

è

ø

è

2 ø

22)

ymax = y(0)= 3;

23)

ymax

= y(1)= 2 ;

24)

ymin

= y(e) = e;

æ

1 ö

ln 2 +1

25)

ymin

= yç

÷ =

2

;

26)

функция не

имеет

точек

локального

è

2 ø

экстремума,

yнаим. = y(e −1 )= y(e)= 0 ;

27)

ymax

= y(e −2 )= 4 × e −2 ,

æ

5π

ö

5π

ymin

= y(1)= 0 ;

28)

ymax = yç

+ 2πn÷ =

3 +

+ 2πn,

3

3

è

ø

æ

π

ö

π

ymin

+

- 3 + 2πn,

n Z ;

29)

ymax

= y(2πn)= ln3,

= yç

3

2πn÷ =

3

è

ø

æ π

ö

π

= y(π + 2πn)= 0 ,

3

ymin

n Z ;

30)

ymax

= yç

÷ =

+

,

12

2

è12

ø

171

æ

5π ö

5π

3

æ

π ö

2π

1

ymin

= yç

÷

=

-

;

31)

ymax = yç

÷ =

-

,

12

2

3

3

è

12 ø

è

6 ø

æ

- π ö

- 2π

1

= y(1)= e ;

= y(0)= 0,

ymin

= yç

÷

=

3

+

;

32)

ymin

33)

ymin

3

è

6 ø

= y(2)= 4 × e −2 ;

æ

1

ö

1

π

æ

1 ö

1

π

ymax

34)

ymax

= yç

-

÷

= -

+

,

ymin

= yç

÷

=

-

.

2

2

4

2

4

è

ø

è 2 ø

= y(31)= 14 , ymin

æ

9 ö

1

= y(e)=

1

3.135. 1) ymax

= yç - 32

÷

= -17

;

2)

ymax

e

.

4

è

32 ø

3.137. 1) yнаиб. = y(−1)= y(1)= 3,

yнаим. = y(− 2)= y(2)= −24 ;

2)

yнаиб.

= y(e)= e2 ,

yнаим.

= y(1)= 0;

3)

yнаиб.

= y(4)= 8,

yнаим.

= y(0)= 0;

æπ

3

æ 3π

ö

3

ö

yнаим. = y(− 2)= 3

3 −1,

4)

yнаиб. = y

ç

÷

=

,

yнаим. = yç

÷ = -2 ;

5)

3

2

2

è

ø

è

ø

yнаиб.

= y(0)= 2;

6)

yнаиб.

= y(4)= 3 ,

yнаим.

= y(0)= −1; 7) yнаиб. = y(e)= e −1,

5

yнаим.

= y(1)= 1;

8)

yнаиб.

= y(−10)= 132 ,

yнаим. = y(1)= y(2)= 0.

3.138. а) 1), 4); б)

2),

3). 3.139. Выручка возрастает Q > 0. 3.140. 20

человек.

3.141.

ед.

3.142.

1)

P

= 2

д.

ед.,

Q

=

64

ед.;

300

2) P = 5 д. ед.,

Q = 5 ед. 3.143. P = 92 д. ед., Q = 6 ед.,

П = 322 д. ед.

3.144. P = 32,5 д. ед., Q = 65 ед. 3.145.

P = 12 д. ед., Q = 400 ед., П = 1800

д. ед. 3.146.

а) x = 20 тыс. д. ед., П = 30500 тыс. д. ед.; x = 25 тыс. д. ед.,

П =

31250 тыс. д. ед. 3.147. a =b= 30

(м). 3.148.

20 (м), 40

(м), 20(м).

3.149. a = 4 (м), h = 2 (м). 3.150. R = 3 V 2π (м), h = 3 4Vπ (м).

3.151. α = arccos		1	. 3.152. 1) Выпуклая на (1;+ ∞), вогнутая на (− ∞;1), x =
		m
1 - точка перегиба; 2) выпуклая на (− 3;2), вогнутая на (− ∞;− 3)U (2;+ ∞),
x1 = −3, x2	= 2 - точки перегиба; 3)					выпуклая на	(− ∞;− 2), вогнутая на
(− 2;+ ∞),	x = -2			- точка	перегиба;	4) выпуклая	на (− ∞;−1)U (1;+ ∞),
вогнутая на (− 1;1),				x1 = −1,	x2 = 1 - точки перегиба; 5) функция выпуклая,

точек перегиба нет; 6) выпуклая на (−1;+ ∞), вогнутая на (− ∞;−1), точек

172

перегиба нет; 7) выпуклая на (0;+ ∞), вогнутая на (− ∞;0), точек перегиба

нет; 8) выпуклая

на

(8;+ ∞), вогнутая

на

(4;8),

x = 8 −точка перегиба;

æ

−5

ö

æ

−

5

ö

−

5

9) выпуклая на

ç

е

6

;

+ ¥

÷

, вогнутая на

ç

0;е

6

÷

, x = у

6

- точка перегиба;

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

10) вогнутая на (− ∞;−1), выпуклая на (−1;+ ∞), x = - 1 - точка перегиба;

11)

выпуклая на

(0;1), вогнутая на

(− ∞;0)U (1;+ ∞),

x = 0, x =1 − точки

перегиба; 12) выпуклая на (− ∞;0)U (0;1) U (3;+ ∞), вогнутая на (1;3),

x1 = 1,

x2 = 3− точки перегиба .

3.153. 1)

a = -1,5, b = 4,5;

2) h =

1

.

6

2

3.155. а) 2);

б) 1).

3.156. 1) а) и б) - при x > 0; 2)

а) - при x Î (0; 200),

C

б) при x >100. 3.157. 1) а) (0, СВ ),

б) (СA ,+ ¥);

(0, СВ ),

B

2)

см. рис. 3.1;

3) а) (0, QA ), б) (QA , Q* ), в) ( Q* , QB );

C = f −1 (Q)

A

′′

′′

4) C (Q)< 0 при Q Î(0, QA ), C (Q)> 0

при

Q Î(QA, QB ). 3.158.

1)

50 ед.;

QA

Q*

QB

Q

2) 2 ед. 3.159. а) Q = 3×

; б) 24 ед.

0

P

Рис.3.1

3.160.

Объём

выпуска

уменьшится

на

25

ед. 3.161. 5 ед.

3.162. 1) Qi = -1+ 0,5× P, i = 1,...,200, Q = -200 +100× P ; 2) 6 д. ед.; 3) Qi

= 2

ед.,

Pi = -12

д.

ед., в

коротком

периоде

фирмы

терпят

убытки.

3.163. 1) Q =

ì0,

P £ b,

2) фирма прибыльна при P > a Q* + b , убыточна -

í

P > b;

Q* ,

î

при

P < a Q* + b . 3.164. 1)

3 д. ед.,

2)

5,5

д. ед. 3.165. 1) P = 40 д. ед.,

Q = 10 ед.; 2)

P = 40 д. ед., Q = 5 ед.; 3)

P = 50д. ед., Q = 10 ед.; 4) P = 50д.

ед.,

Q = 5

ед. 3.166. Q = 3 ед., P = 9 д. ед.,

Π = 7 д. ед. 3.167. 1

д. ед./ед.

3.168. 1) а) 226;

б) 150,5; в) ≈293,25; 2) а) 150,25; б) 100; в) 195.

3.169. 18

ед. 3.170.

12,5. 3.171. MR = MC = 40 . 3.172. Цена увеличится

173

на 3 д. ед. Прибыль монополии уменьшится на 63 д. ед. Сумма налога

составит 56

д. ед. 3.173. 1)

P = 75д.

ед., Π = 32500д.

ед.; 2)

P = 80д. ед.,

Π = 30000д.

ед.; 3)

P = 75д. ед.,

Π = 32300д.

ед.

3.174.

Q = 100ед.,

Π = 100д. ед. 3.175. 1) Q = 30ед.,

P = 700д.

ед.; Q = 30ед.,

P = 400д. ед.

3.176.

1)

C =100n +10Q + Q2

n ;

2)

C = 300 +10Q + 0,2Q2 ;

3) C =

ì300 + 5Q + Q2

4, 0 £ Q £10,

3.177. 1) Q1 = 70 ,

Q2 = 20; 2) Q1 = 20 ,

í

Q >10.

î295 + 6Q + 0,2Q2 ,

Q = 40 . 3.178. 1) P = 517 ,

P = 2 17

, Q = 1

43 , Q

2

= 21 ; 2)

P = 8,

P = 4 ,

2

1

20

2

20

1

80

80

1

2

Q = 1,

Q

= 0; 3)

дискриминации

нет: P = P = 6,6 , Q = 27 , Q

2

=

9

;

2

1

1

2

1

20

20

4) условие(3.17) не выполняется: с учётом спроса на обоих рынках фирма

может полностью реализовать товар,

если Q1 = 3,

Q2 = 5 ,

при этом её

доход равен

нулю;

макс.

доход

фирма

получит при P1

= 6,

P2 = 30 ,

Q1 = 1,5,

Q2

= 2,5, но при этом

не

реализовано

будет

4

ед.

товара.

3.179. 1)

P = 104 2 ,

P = 64 2 , Q = 55 5 ,

Q

2

= 31 3

, 2) Q = 62 ,

Q

2

= 0,

1

7

2

7

1

7

7

1

P = 98,

прибыль

уменьшится

на

691,4

д.

ед.

ì300 -10Q,

0 £ Q < 20,

3.180.

1)

MR(Q)= íï2600 9 - 80Q 9,

20 £ Q £ 65

ï

Q > 65;

î0

2)	MR(Q)= ì8 × (2600 - 80Q) 81,				Q Î[0;10)U (55;65], 3.181.				P =10 д.
		í			Q Î[10; 55].				B
		î2600 9 - 80Q 9,
ед. 3.182. PC =1093,75 д. ед. 3.183. На внутреннем рынке продаётся 100, а
на внешнем -200				автомобилей. 3.184. 1) x = −2, y = 2x − 4				при	x → ±∞ ;
2)	x = ±1,	y = 1	при x → ±∞ ; 3) нет асимптот; 4) x = 0 , y = x при x → ±∞ ;
5)	x = 2,	y = 1	при x → ±∞ ; 6)		y = x - 1	при	x → ±∞ ; 7)	x = 0 ; 8) y = 0
					3
при x → −∞ ;			9)	y = 0 при	x → ±∞ ;	10)	y = - π x -1	при	x → −∞ ,
							2

174

y =

π x − 1 при x → +∞ ; 11)

y = x при x → ±∞ ; 12) x = 0 , y = 2x при

2

x → +∞ . 3.185. 1) D f = R ,

точек разрыва нет, функция чётная, проходит

через точки (0;−1), (±

убывает на (− ∞;0), возрастает на (0;+ ∞),

5;0),

ymin

= y(0)= −1, выпуклая

на

(− ∞;−

)U (−1;1)U (

на

5

5;+ ∞), вогнутая

(−

в

точках

x = ±

, x = ±1 асимптот нет;

2)

5;−1)U (1; 5), перегиб

5

D f = R , точек разрыва нет, функция нечётная, проходит через точки (0;0),

(±

возрастает

на

(− ∞;−

)U (

убывает на (−

),

5;0),

3

3;+ ∞),

3;

3

ymin = y(

)= −

, ymax = y(−

)=

, выпуклая на (−

3

3

3

3

1,5;0)U ( 1,5;+ ∞),

вогнутая

на

(− ∞;−

)U (0;

), перегиб в

точках

x = ±

,

x = 0,

1,5

1,5

1,5

асимптот нет;

3)

D f

= R /{}1 , точка разрыва x = 1, функция общего вида,

непериодическая,

проходит

через

точку

(0;0),

возрастает

на

(− ∞;1)U (3;+ ∞),

убывает на

(1;3),

ymin

= y(3)= 3 3;

выпуклая на (0;+ ∞),

8

вогнутая на ( − ∞;0),

перегиб в точке x = 0 , вертикальная асимптота x = 1,

наклонная асимптота y =

1 x +1

при

x → ∞ ;

4)

D f

= R /{−1; 1},

точки

2

разрыва x = ±1, функция нечётная, непериодическая, проходит через точки

(0;0), (± 3;0), возрастающая; выпуклая на (− ∞;−1)U (0;1), вогнутая

на(−1;0)U (1;+ ∞), перегиб в точке x = 0 , вертикальные асимптоты x = −1 и

x = 1, наклонная асимптота y = x при x → ∞ ; 5) D f = R /{− 2; 2}, точки

разрыва x = ±2 , функция нечётная, непериодическая, проходит через точку (0;0), убывающая, выпуклая на (− 2;0)U (2;+ ∞), вогнутая

на(− ∞;− 2)U (0;2), перегиб в точке x = 0 , вертикальные асимптоты x = −2

и	x = 2 ,	горизонтальная	асимптота	y = 0	при	x → ∞ ;
6)	D f = R , точек разрыва нет, функция чётная, непериодическая, проходит

через точки (-1;0), (1;0), (0;-1), убывает на (− ∞;0), возрастает на (0;+ ∞),

175

ymin = y(0)= −1,

выпуклая

на

(−1

;1

),

вогнутая

на

3

3

(− ∞;−1

)U (1

;+ ∞),

перегиб

в

точках

x = −1

, x = 1

,

3

3

3

3

горизонтальная асимптота

y = 1

при x → ∞ ; 7)

D f = R , точек разрыва нет,

функция общего вида, проходит через точки

(0;0), (2;0), возрастает на

(1;+ ∞), убывает на (− ∞;1),

ymin

= y(1)= −1, выпуклая на ( 0;2), вогнутая

на

( − ∞;0)U (2;+∞), перегиб в

точках

x = 0 ,

x = 2 ,

асимптот

нет;

8)

D f = [0, + ∞),

точек разрыва нет,

функция общего вида,

проходит через

точки (0;0), (3;0), возрастает на (1;+ ∞), убывает на (0;1),

ymin = y(1)= −2 ,

выпуклая, асимптот нет; 9)

D f = R ,

точек разрыва нет, функция общего

вида, проходит

через точки

(0;−1), (−1;0),

(19 8;0),

возрастает

на

(− ∞;−1)U (0;+ ∞), убывает

на

(−1;0),

ymin = y(0)= −1,

ymax = y(−1)= 0,

выпуклая, асимптот нет; 10)

D f

= R ,

точек разрыва нет, функция общего

вида, проходит через точку (0;1), возрастает на (− ∞;1), убывает на (1;+ ∞),

ymax

= = y(1)= e,

æ

1 ö

æ

1

ö

выпуклая

на

ç - ¥;1-

÷ U ç1

+

;+ ¥

÷ ,

вогнутая

на

2

2

è

ø

è

ø

æ

1

1 ö

1

1

ç 1-

; 1+

÷ , точки перегиба

x = 1-

,

x = 1+

,

горизонтальная

è

2

2 ø

2

2

асимптота

y = 0

при x → ∞ ; 11) D f = R /{0}, точка разрыва x = 0, функция

чётная, непериодическая,

оси

координат не

пересекает,

возрастает

на

(− ∞;−1)U (0;1), убывает на (−1;0)U (1;+ ∞),

ymax = y(-1)= y(1)=

1

,

e

æ

1

ö

æ

1 ö

выпуклая

на (- ¥;-

2)U ç-

;0÷ U ç

0;

÷ U (

2;+ ¥), вогнутая на

è

3

ø

è

3

ø

æ

1

ö

æ

1

ö

1

ç -

2;-

÷ U ç

;

2 ÷ ,

перегиб

в

точках x = ±

2 ,

x = ±

,

è

3

ø

è

3

ø

3

горизонтальная асимптота

y = 0

при

x → ∞ ; 12)

D f = R ,

точек

разрыва нет,

функция общего вида, проходит через точку (0;0), возрастает

176

всюду,

выпуклая на (− ∞;0), вогнутая на (0;+ ∞),

перегиб в точке x = 0,

асимптот

нет; 13)

D f

= R /{−1;1}, точки разрыва x = ±1, функция чётная, проходит через точ-

ку (0;0), возрастает на (−1;0)U (1;+ ∞), убывает на (− ∞;− 1)U (0;1),

ymax = y(0) = 0 ,

вогнутая, вертикальные асимптоты x = ±1; 14)

D f = R , точек разрыва нет, функция

общего вида, проходит через точки

æ

-

π

ö

n ÎZ ,

возрастает на

(0;1), ç

4

+ π × n;0÷ ,

3π

π

è

ø

π

5π

æ

ö

æ

ö

U ç

-

+ 2π ×n;

+ 2π ×n

÷,

убывает

на

U ç

+ 2π ×n;

+ 2π ×n÷ ,

4

4

4

4

n Zè

æπ

ø

5π

n Zè

ø

ymax = y

ö

æ

ö

= - 2 , nÎZ ,

выпуклая на

ç

+ 2π × n÷ = 2 ,

ymin = yç

4

+ 2π ×n÷

è 4

ø

è

ø

æ 3π

7π

ö

æ

π

3π

ö

U ç

+ 2π ×n;

+ 2π ×n÷

,

вогнутая на

U ç-

+ 2π × n;

+ 2π ×n÷

, точки переги-

4

4

4

4

n Zè

3π

ø

n Zè

ø

ба,

x =

+ 2π × n ,

n ÎZ ,

асимптот нет; 15)

D f

= (0;+ ∞), точек разрыва нет, оси

4

æ

1

ö

æ

1 ö

ymin =

координат

не

пересекает,

возрастает

на ç

;+ ¥÷, убывает на

ç0;

÷,

è e

ø

è

e ø

æ 1

ö

yç

÷ » 0,692, выпуклая, асимптот нет.

è e

ø

ГЛАВА 4

4.1.

x3

+ x2

+ ln

x

+ C .

4.2.

x4 -

x2

+ 5x + C .

3

2

4.3.

- 2 × cos x +

sin x

+

1

× x + C .

4.4.

ln x2

- 5 × sin x + C .

4.5.

5

3

- ctgx - 3× arcsin x + C .

4.6. 1 × tgx + 2 × arctgx + C .

4.7.

3x

-

1

+ C . 4.8.

2x × ln 2

3

ln3

2x

+ 3 × ex + C .

ln 2

a2

a3

1

2

5

4.9.

a ×ln

x

-

-

+ C .

4.10. x +

-

+ C .

4.11.

x × 3

x2 -

× x × 5 x + C .

x

2x2

x

x2

6

177

4.12.

2 x ×

+ 3 x ×3

+ C .

4.13.

n

× x(n−1) n + C .

4.14.

-

2

+ C .

x

x

n -1

3

4

x

8

x ×8

+ C . 4.16. 3 × x - 2 ×

x3

5 × x2

4.15.

x7

+ 4 × 4

+ C . 4.17.

+

+ 6 × x + C .

x

x

15

3

2

4.18.

4 × x3

+ 6 × x

2

+ 9

× x + C .

4.19.

1 æ 1

ö

+ C . 4.20.

x

3

+ 2 ×ln

x

+ C .

ç

-1÷

3

x2 è x

ø

3

4.21. 9 × ln

x

+ 6

-

1

+ C .

4.22.

x -

1

- 2ln

x

x

2 × x2

3

2x ×

x

+ C .

4.24.

×ln

x

+ 6×

+

x +

x

a

x

3a

a

4.26. x -

1

- 2ln

x

+ C .

4.27.

2x ×ex

+ C .

x

1+ ln 2

4.29. ex - x + C .

4.30. ex - tgx + C .

	+ C . 4.23. 3×3		æ x		ö	× 4
		x - 4ç			+1÷		x + C .
				5
		è			ø

4.25.ln xx +-11 + arcsin x + C .

4.28.	1			-	2		+ C .
	5×2x ×ln 2				5x ×ln5
	4.31.	1	(x - sin x)+ C .
		2

	4.32. 2arctgx - 3arcsin x + C .						4.33. - 2×ctgx + cos x + C .													4.34. -			2		+ C .
																						sin 2x
	4.35. 3×tgx + 2×ctgx + C .				4.36. tgx - x + C .							4.37. tgx + C .								4.38. x + cos x + C .
	4.39. - cos3x + C .			4.40.	sin 5x + C .						4.41.					tg5x			+ C .	4.42.	− сtg7x				+ C .
		3			5											5						7
	4.43.	e2 x + C .			4.44.		arctg4x				+ C .								4.45. - cos(2x + 3) + C .
		2					4														2
	4.46.	sin(4x − 5)	+ C .		4.47.		(6x + 5)5				+ C .								4.48. - (2 - 3x)4				+ C .
		4					30													12
	4.49.	2 (3 + x)×		+ C .							4.50. -						3		(3 - 7x)× 3		+ C .
			3 + x																	3 - 7x
		3														28
			2			+ C .						1				(1- 2x4 )4 + C .					- 1		×e− x2
	4.51.			(x3 + 5)3			4.52.				-									4.53.						+ C .
			9									32
																						2
	4.54.	- 1 e−x3 +1 + C .			4.55.			ln		x3 + 5						+ C .			4.56.	ln(2x6 + 3)						+ C .
											3											2
		3

178

5

3 ×3

arcsin 2x2

(x3 +1)2

4.57.

× 5

(4x3 + 7)4

+ C .

4.58.

+ C .

4.59.

+ C .

24

4

4

4.60.

arctg(x4 )

+ C .

4.61.

sin6 x

+ C .

4.62.

-

cos4

x

- cos x

+ C .

4

6

4

4.63.

1

- ln

cos x + 2

+ C .

1

4.64.

arctg sin x + C .

4.65.

-

+ C .

4.66.

+ C .

4.67.

- ln

сosx

+ C .

sin4 x

2 × cos2

x

(1 + ctgx)2

4.68.

ln

sin x

+ C .

4.69.

tg3x

+ C .

4.70.

-

+ C .

3

2

4.71.

ln

sin 2x

+ C .

4.72.

- ctgx + 2ln

sin x

+ C .

4.73.

6 ×

+ C .

2 + tgx

x

+ C . 4.75. ln(1+ ex )+ C . 4.76. -

ln1 - 3e2 x

4.74. -

2

ln

2 - 3sin

+ C .

3

2

6

4.78. 2 × e

+ C .

4.79. earctgx

+ C .

4.80. e− ctgx

+ C .

4.77. e

2 x−1

+ C .

x

4 × 2

2tgx

ln2 x

2

x

4.81.

+ C .

4.82.

+ C .

4.83.

2

+ C .

4.84. 3 (1

+ ln 2x)

1 + ln 2x + C .

ln 2

ln 2

4.85. ln

ln x + 2

+ C .

1

+ C .

arctg 2 x

1

+ C .

4.86. -

4.87.

+ C .

4.88.

ln x

2

4arccos4 x

3× (arcsin x + 2)× 3

+ C .

4.90. (arctgx - 7)101

4.89.

arcsin x + 2

+ C .

4

101

2

1

x

3

3

2

4.92. ln

ln ln x

+ C .

4.93.

2 × (x

+ 3x +1) + C .

4.91.

3 arctg

3 + C

4.94.

1 ln(x4

+ 1)+

1 arctgx2

+ C .

4.95. ln(x2

+ 1)+

1 arctg3 x + C .

4

2

3

1

4.97. arctg

2

2arcsin e

x 2

4.96.

2

x -

1 - x

2

+ C .

x + C .

2 arcsin

4.98.

4 + C .

1

cos2 2x

4.100.

1

×ln

2 1+ x

+ C .

4.99.

-

4 arctg

2

+ C .

4

1- x

179

	4.101.																									1			1						1			1							3								1						1								1										+ C ;
																1)							-						×				-		3 ×								-														-						×
																										8				(x -1)8							(x -1)9									10				(x -1)10										11						(x -1)11
				-		(1- 5x2 )11								×(1+ 55× x2 )+ C ;																	1				(ln(									-							)- ln(														+							))+ C =
	2)																												3)										3 + ex																	3 + ex
																																																3																							3
							6600
																																	3
	1			(x - 2ln(														+			))+ C ; 4)								- arcsin				1		+ C . 4.102. 1) (100x +1)																											× (5x -1)20															+ C ;
													3 + ex
																				3
																																		x
	3																																																				10500
												2																																																			2x -1
																3
	2)											3						(x +1) + 2 x +											1 + C ;													3)																																			+ C ;
																																																													10×(3- x)6
											2	(3x2				+ 8x + 32)×																										1 ×													-							1 ×
	4)						-																						+ C ;						5)												(1- x2 )5																	(1- x2 )3													+ C ;
																								2 - x
									15
																																										5																	3
									1														2						1
	6)										2 ln(2					+ x2 )+ (2 + x2 ) -																		+ C ;											7)												ex + ln												ex -1						+ C ;
																													(2 + x2 )2
	8)							e2 x					- 2ex + 4ln(2 + ex )+ C .																				4.103.									1)												- x ×cos x + sin x + C ;
									2
	2)			(2x + 1)× sin x + 2 × cos x + C ;																									3)		(x + 2)× e x + C ;																4)							3 x					× (x × ln3 -1)+ C ;
																																																						ln2 3
					x × (ln x -1)+ C ;																						x × (ln x -1)								+ C ;
	5)																					6)																				7)										x × arcsin x +																1- x2									+ C ;
																														ln5
	8)										(x2 +1)					arctgx -						x	+ C ;								9)								x		2	× sin x + 2											× x × cos x - 2 × sin x + C ;
												2										2
				- x			2		× cos x + 2 × x × sin x + 2 × cos x + C ;																														æ x × (x +1)														2x +1									2					ö						x				+ C ;
	10)																																		11)			ç														-							+											÷ ×		2
																																										ln 2											ln2 2									ln3
																																						è																													2 ø
	12)											(x2 - 2x + 2)× e x + C ;																					13)												-		(x +1)× cos2x + sin 2x																														+ C ;
																																																				2															4
	14)							x			× sin 6x +								cos6x			+ C ;							15)							1		(5(x +1)sin(5x - 7)+ cos(5x - 7))+ C ;
																																			25
							6									36
	16)										(3x - 2)× cos(5x + 1)- 3 × sin(5x +1) + C ;																																		17)												- (1+ x)× e − x																				+ C ;
												5																	25

180