- •Раздел I. Особенности термодинамики, как науки.
- •I.1. Основные определения термодинамики.
- •Пример 3. Химические реакции и фазовые превращения:
- •Правило знаков для потенциалов:
- •I.2. Теплота, работа, внутренняя энергия.
- •I.3. Равновесные и неравновесные взаимодействия. Статические и нестатические процессы.
- •I.4. Состояния системы. Уравнения состояния системы.
- •I.5. Реальные свойства газа. Уравнение состояния реального газа.
- •I.6. Работа и теплота. Свойства работы и теплоты.
- •I.7. Характеристические функции.
- •Мнемонический приём для термодеформационной системы:
- •I.8. Дифференциальные соотношения термодинамики.
- •Раздел II. Теория теплоёмкостей однородных систем.
- •II.1. Классификация теплоемкостей по единицам количества вещества и видам процессов.
- •II.2. Общая формула теплоёмкостей однородных систем.
- •II.3. Внутренняя энергия и теплоёмкость идеального газа.
- •II.4. Зависимость теплоёмкостей от давления, объёма и температуры.
- •II.5. Зависимость теплоёмкостей от температуры. Истинная и средняя теплоёмкости.
- •Раздел III. Вычисление энтропии.
- •III.1. Три группы формул для вычисления энтропии.
- •III.2. Уравнение адиабаты реального газа в общем виде.
- •Раздел IV. Политропный (политропический) процесс.
- •IV.1. Уравнение политропы. Определение показателя политропы.
- •IV.2. Работа, теплота и внутренняя энергия в политропном процессе.
- •IV.3. Изменение энтропии в политропном процессе.
- •Раздел V. Исследование изопроцессов. Работа, теплота, внутренняя энергия в изопроцессах.
- •Раздел VI. Второй закон термодинамики.
- •V рис. 18. Произвольный прямой обратимый цикл.
III.2. Уравнение адиабаты реального газа в общем виде.
Для обратимого адиабатного процесса реального газа из (126) при dS=0 получим:
.
Откуда:
Здесь,- третий тип дифференциальных соотношений
- второй тип дифференциальных соотношений
Окончательно получаем:
(138)
Здесь, K – показатель адиабаты (K>1)
Уравнение (138) называется уравнением адиабаты в общем виде.
Из (138) следует, что адиабатная сжимаемость в K раз меньше изотермической сжимаемости
Физическая природа различия сжимаемостей состоит в том, что при адиабатном сжатии, температура газа повышается и, в соответствии с уравнением состояния, происходит повышение давления, то есть увеличивается сопротивление системы ее сжатию.
Раздел IV. Политропный (политропический) процесс.
IV.1. Уравнение политропы. Определение показателя политропы.
Из физики известно четыре простейших процесса (изопроцесса):
изобарный;
изохорный;
адиабатный;
изотермический,
Для сравнения изобразим на рис.10 эти процессы, проходящими через общую точку А:
р2
А
4
3
рис.10.
Изопроцессы в P-V
координатах.
рис.11.
Пример политропного процесса.
Но в целом ряде случаев реальные процессы, например рис.11, не соответствуют ни одному из изопроцессов.
Для выполнения теплотехнических расчётов в таких случаях, пусть даже с какими-то погрешностями, реальный процесс заменяется гипотетическим, имеющим формулу, удобную с точки зрения математических преобразований. Этому требованию удовлетворяет уравнение вида . Так как это уравнение должно описывать всё многообразие реальных процессов, то в этом уравнении должен присутствовать коэффициент согласования (идентификации). Этим коэффициентом является показатель степени n, называемый показателем политропы. Так как n коэффициент согласования, то, в отличие от показателя адиабаты k в уравнении Пуассона , где k>1, показатель политропы может иметь любые значения в интервале (,+). Показатель политропы определяется только путем обработки опытных данных.
Алгоритм определения показателя политропы n.
Разбиваем pv-диаграмму реального процесса на N точек (чем больше точек, тем точнее n).
Снимаем с pv-диаграммы реального процесса значение давления pi удельного объёма vi в каждой i-той точке и заносим в таблицу.
Для каждой i-той точки вычисляем значения lnpi и lnvi и заносим в таблицу.
Перестраиваем pv-диаграмму в координатах: lnp - lnv.
Аппроксимируем точки на графике в логарифмических координатах одной прямой, используя метод наименьших квадратов или другой аналогичный метод. Если это удаётся без значительных погрешностей, то тангенс угла наклона прямой к оси lnv равен показателю политропы.
На рис. 12 и 13 представлен пример определения показателя политропы.
рис.12.
Пример обработки опытных данных для
определения показателя политропы
i – номер точки |
pi, Па |
vi, |
lnp |
lnv |
1 |
p1 |
v1 |
lnp1 |
lnv1 |
2 |
p2 |
v2 |
lnp2 |
lnv2 |
… |
… |
… |
… |
… |
N |
pN |
vN |
lnpN |
lnvN |
n=tgα
рис.13.
Пример определения показателя политропы.
Если все точки не укладываются удовлетворительно на одной прямой, то используется метод линейно-кусочной аппроксимации, по которому показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.
lnp
.3 . N
. 9
. 4
.2
.8
.1 . 5
. 6 . 7
рис.14.
Пример определения показателей политропы
для отдельных участков .
В этом случае реальный процесс рассчитывается по уравнению pvn = const при последовательно изменяющемся значении показателя политропы n: n1, n2, n3 и т.д. Значения А,Q,U, найденные на отдельных участках процессов затем суммируются.
В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса или для всего процесса известны только две точки, можно использовать метод определения показателя политропы n по двум точкам.
1
Р1
2
Р2
V1 V2 V, м3/кг
рис.15.
Иллюстрация к методу определения n
по двум точкам
Если реальный процесс задан pv-координатах, то используется уравнение политропы в виде
pvn = p1v1n = p2v2n =const
После логарифмирования и приведения подобных, получим искомое значение n:
ln p1 + n ln v1 = ln p2 + n ln v2
ln p1 – ln p2 = n (ln v2 - ln v1)
(139)
В политропном процессе газ считается идеальным. Так как основное уравнение политропы pvn =const по форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газа pvk =const (уравнение Пуассона), то без вывода запишем еще два уравнения политропы:
(140)
(141)
Для определения показателя политропы может использоваться любое из трех уравнений политропы.
Так как теплоёмкость является функцией процесса, то получим формулу для теплоёмкости в политропном процессе сn:
Из общей формулы теплоёмкостей однородных систем (74) для политропного процесса имеем:
(формула(76))
Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то
(формула(77))
Требуется найти . Для этого воспользуемся уравнением политропы (140):
.
Логарифмируя и дифференцируя это уравнение, приводя подобные получим:
Откуда
Подставим найденное значение в уравнение (76):
Окончательно
(142)
В (142) показатель адиабаты k>1, в то время как n(, +).
При 1<n<k значение cn получается отрицательным. С физической точки зрения это трудно объяснимо, поэтому, придавая отрицательной величине cn формальный характер, вычисление А, Q, U проводим с этим отрицательным значением.
Изопроцессы, в силу универсальности уравнения , можно рассмотривать как частные случаи политропного процесса:
при n = 0 получается уравнение изобарного процесса (p=const);
при n = 1 – уравнение изотермического процесса (pv=const);
при n = k – уравнение адиабатного процесса pvk=const (или S=const);
приn = - уравнение изохорного процесса (v=const).
n<0
рис.16.
Показатель политропы для различных
процессов.
n>k