IV.2. Работа, теплота и внутренняя энергия в политропном процессе.

Как известно, удельная абсолютная деформационная работа определяется по формуле:

Для того, чтобы найти этот интеграл, необходимо знать уравнение, связывающее давление и объем. Таким уравнением является уравнение политропы pvⁿ=const. Запишем это уравнение развернутом виде:

, откуда

Тогда

Окончательно

(143)

Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то преобразуем (143) к виду:

Или окончательно:

(144)

Получим ещё несколько формул для А_n, для чего подставим в (144) , найденные из других уравнений политропы. Из уравнения

(144*) Тогда

(145)

Из уравнения следует

Или

(146)

После подстановки (146) в (144) окончательно получим

(147)

Формула (147) широко используется в теории газовых турбин, газовой динамике и так далее.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только температуры, поэтому соотношение (73) для идеального газа примет вид

, (148)

откуда после интегрирования при с_v=const

(149)

Формула (148) справедлива для любого процесса, в том числе и для политропного, поэтому

(150)

Как известно

, откуда дляполитропного процесса

dQ_n=c_ndT (151)

После подстановки (142) в (151) и интегрирования при окончательно получим:

(152)

IV.3. Изменение энтропии в политропном процессе.

Для обратимых процессов, как известно

dQ = T dS

Так как одновременно

dQ = c dT,

то из равенства правых частей этих уравнений получим

dS = c (153)

Из (153) и (142) для политропного процесса

dS_n = ,

Откуда после интегрирования окончательно получим:

(154)

Подставляя в (154) отношения из (144*) и (146) получим еще две формулы для расчета ∆S_n:

или

(155)

или

(156)

Как известно, в инженерных расчетах полагают, что энтропия равна нулю при нормальных физических условиях. Тогда, подставляя в (154) Т_н вместо Т₁ и Т вместо Т₂ получим формулу для расчета энтропии:

(157)

Из формул (155) и (156) аналогично получим:

(158)

(159)

Раздел V. Исследование изопроцессов. Работа, теплота, внутренняя энергия в изопроцессах.

V.1. Изохорный процесс (v = const).

Из общей формулы для абсолютной работы термодеформационной системы при dU=0 следует

A_v = 0 (160)

Изменение внутренней энергии из (148) определяется по формуле:

(161)

Из первого начала термодинамики в обычной интегральной форме Q = U + A для изохорного процесса получаем:

Q_v = U_v (162)

или (163)

Ранее для изохорного процесса была получена формула:

Этот же результат может быть получен из (154) при n_v=±∞.

V.2. Изотермический процесс (T = const).

В формуле (143) при n_T = 1 и p₁v₁ = p₂v₂ = RT = const получается неопределенность види {0/0}, которую нужно раскрывать специальным образом (например, по правилу Лопиталя). Проще найти абсолютную механическую работу в изотермическом процессе из общей формулы .

Из уравнения изотермического процеса

следует связь между p и v: ,

откуда после подстановки в (163) и интегрирования получаем

(164)

или

(165)

или

(166)

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому при Т=const

U_T = 0 (167)

Этот же результат формально следует из (148).

Из первого начала термодинамики для изотермического процесса с учетом (167) получаем:

Q_T = A_T (168)

Таким образом в изотермическом процессе вся подведенная к системе теплота идет на совершение системой абсолютной работы.

Из (154), (155) при n=1 получаются известные формулу для расчета изменения энтропии в изотермическом процессе:

Здесь: R=c_p-c_v

c_p/c_v=K

Окончательно

(169)

Формула (169) совпадает с полученной ранее.

V.3. Изобарный процесс (p = const)

Из общей формулы для удельной абсолютной деформационной работы в политропном процессе (143) при n_p=0 получим:

(170)

Из уравнения удельная теплота в изобарном процессе равна. При получим

(171)

Ранее из первого начала термодинамики в энтальпийной форме было получено:

Q_p = i₂-i₁ (формула (58))

Изменение внутренней энергии в изобарном процессе в соответствии с формулой (149) определяется как

(172)

Из (154) получим:

(173)

Формула (173) совпадает с полученной ранее.

V.4. Адиабатный процесс (dQ=0).

Как известно, обратимые адиабатные процессы являются изоэнтропными (S=const)

Из формулы (143) при n_s = k, получаем:

(174)

По аналогии с формулами (145) и (147), заменяя n на k, можно сразу записать:

(175)

(176)

или

(177)

Из первого начала термодинамики в дифференциальной форме получим еще одну формулу для абсолютной работы в адиабатном процессе

dQ = dU + dA, откуда при dQ=0

dA_S = - dU_S (178)

или после интегрирования

(179)

Из (149) изменение удельной внутренней энергии определяется по формуле:

(180)

Подставляя (180) в (179) окончательно получим:

(181)