Интегральный признак Коши-Маклорена.

Теорема: Если для ряда с неотрицательными членами

существует , обладающая тремя свойствами:

- монотонно невозрастающая или убывающая функция.

Тогда ряд и несобственный интеграл I-го рода ведут себя одинаково, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство:

Построим геометрическую иллюстрацию графика функции .

Проинтегрируем неравенство по отрезку

Введем вспомогательное обозначение

, тогда

Ряды и в силу неравенства ведут себя одинаково. Исследуем на сходимость . Для этого рассмотрим его частичную сумму.

Найдем предел последовательности частичных сумм

Ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково, следовательно, также ведет себя Ряд ведет себя также, как и интеграл, т.к. отличается на конечное число слагаемых.

Знакопеременные числовые ряды.

Опр.: называется знакопеременным числовым рядом, если среди его членов имеется бесконечное число как «+», так и «-».

Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда.

Опр.: Знакопеременный числовой ряд называется абсолютно-сходящимся, если сходится ряд, состоящий из модулей его членов, т.е. сходится ряд .

Опр.: Знакопеременный числовой ряд называется условно-сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, состоящий из модулей его членов расходится.

Теорема Эйлера.

Теорема: Если знакопеременный числовой ряд сходится абсолютно, то он сходится и в обычном смысле, т.е. существует и конечен предел последовательности его частичных сумм.

Доказательство:

Дано: - знакопеременный ряд, - сходится

Доказать: - сходится.

Доказательство: Т.к. - сходится, то в силу критерия Коши имеем:

Оценим:

Вывод:

Критерий коши выполняется для , и он сходится.

Знакочередующиеся числовые ряды.

Опр.: Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если два соседних члена этого ряда имеют противоположные знаки, т.е.

Форма записи знакочередующегося ряда.

Знакочередующийся ряд можно записать:

или

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема: Если для знакочередующегося ряда выполняются два условия:

1)

2) , то этот ряд сходится, и его сумма неотрицательна и не превосходит первого члена ряда, т.е.

Замечание: Признак Лейбница не дает ответа на вопрос о виде сходимости (абсолютная или условная).

Доказательство:

Рассмотрим две последовательности частичных сумм знакочередующегося ряда .

Покажем, что обе последовательности сходятся, причем к одному и тому же пределу . Для этого покажем, что обе последовательности монотонны.

(1) , неубывающая (монотонная)

Рассмотрим вторую последовательность:

(2) невозрастающая (монотонная)

Докажем ограниченность числовой последовательности с четными индексами.

ограничена снизу

(3)

ограничена сверху.

Вывод: . Доказали, что монотонна и ограничена она обязательно сходится, т.е. .

Покажем, что сходится к тому же пределу, что и . Воспользуемся равенством . Перейдем в этом равенстве к пределу при .

Т.к. и сходятся к одному и тому же пределу, то , т.е. знакочередующийся ряд сходится.

Геометрическая иллюстрация признака Лейбница.

Функциональные ряды.

Опр.: Функциональным рядом называется аналитическое выражение вида , где - последовательность функций, определенных в общей области .

Опр.: Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если числовой ряд сходится.

Опр.: Множество точек, в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда, а сама сходимость называется поточечной.

Понятие поточечной сходимости на языке кванторов.

Опр.: Функциональный ряд называется сходящимся поточечно в области , если (), где - n-ная частичная сумма функционального ряда.

Понятие равномерной сходимости функционального ряда.

Опр.: Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области , если . В равномерной сходимости не зависит от .

Критеерий Вейерштрасса монотонной сходимости функционального ряда.

(Мажорантный признак функционального ряда).

Теорема: Если для существует мажорантный сходящийся чмсловой ряд , удовлетворяющий условию , то функциональный ряд сходится, причем абсолютно и равномерно в области .

Доказательство:

Воспользуемся необходимым и достаточным условием сходимости числового ряда (критерием Коши). Т.к. ряд сходится, то для .

Рассмотрим функциональный ряд и воспользуемся условием , тогда

Вывод: .

Функциональный ряд сходится абсолютно и не зависит от сходимость равномерная.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

(без доказательства)

. Если функциональный ряд сходится равномерно в области к сумме и состоит из непрерывных функций, то его сумма также является непрерывной функцией.

. Свойство почленного дифференцирования.

Если функциональный ряд сходится равномерно в области и состоит из непрерывно дифференцируемых функций, то сумма ряда также непрерывно дифференцируемая функция и ряд можно почленно дифференцировать:

. Свойство почленного интегрирования.

Если функциональный ряд сходится равномерно в области и , то ряд можно почленно интегрировать:

Понятие степенного ряда.

Опр.: Степенным рядом с центром в точке называется функциональный ряд , в котором члены ряда определяются соотношением , , - коэффициенты степенного ряда.

Замечание: Степенной ряд сходится в точке и его сумма в этой точке равна . Действительно:

Теорема Абеля (основная теорема степенных рядов).

.Теорема: Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится, причем абсолютно и равномерно для всех значений , удовлетворяющих условию , где .

Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится для всякого значения , удовлетворяющего условию, где .

Доказательство:

Докажем первую часть теоремы.

Зафиксируем значение , удовлетворяющее условию . Применим мажорантный признак (критерий Вейерштрасса). Для этого оценим по абсолютной величине общий член степенного ряда.

При каждом фиксированном , таком что имеем таково, что , тогда

Воспользуемся тем, что - точка сходимости степенного ряда сходящийся числовой ряд общий член ряда обязательно стремится к нулю (необходимый признак сходимости ряда), т.е. .

Последовательность сходится. В силу необходимого признака сходимости числовой последовательности, она обязательно ограничена, т.е.

. Для степенного ряда имеем

Б.У.Г.П.

Вывод: В силу критерий Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть - точка расходимости степенного ряда.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть в точке ряд сходится. В силу первой части теоремы в точке степенной ряд должен сходиться, но это точка расходимости пришли к противоречию. Вторая часть доказана.

Понятие радиуса сходимости степенного ряда.

Опр.: Радиусом сходимости степенного ряда называется положительное число , удовлетворяющее двум условиям:

1) - степенной ряд сходится

2) - степенной ряд расходится

при этом называется интервалом сходимости степенного ряда, а точка концевыми точками интервала сходимости.

Замечание: О поведении степенного ряда в концевых точках ничего сказать не можем. Это требует отдельного исследования. Будем считать, что , если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, и если степенной ряд сходится в одной точке .

Отыскание радиуса сходимости степенного ряда.

Зафиксируем в степенном ряяде и исследуем его на абсолютную сходимость.

К данному положительному числовому ряду применим признак Даламбера.

расходится

сходится

Ряд сходится, если

Ряд расходится, если

Вывод: Радиус сходимости равен .

Алгоритм исследования степенного ряда на сходимость.

Шаг 1. Найти радиус сходимости степенного ряда по одной из формул:

,

Шаг 2. Вычислить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение в концевых точках , . Для этого исследуем числовые ряды и .

Шаг 3. Выписать область сходимости степенного ряда с учетом концевых точек. Она может быть - если в концевых точках получаются сходящиеся числовые ряды, , - если в одной из концевых точек ряд сходится, а в другой расходится, - если в концевых точках получаются расходящиеся ряды.

Замечание: Данный алгоритм действует для полного степенного ряда, в случае неполного степенного ряда для нахождения области сходимости применяют либо признак Даламбера, либо радикальный признак Коши.

Свойства степенных рядов.

Поскольку степенной ряд внутри интервала сходимости сходится абсолютно и равномерно (теорема Абеля), то все свойства равномерно сходящихся рядов сохраняются и для степенного ряда.

Разложение функции в степенной ряд.

Опр.: Если степенной ряд сходится в некотором и его сумма равна , то говорят, что функция разложена в степенной ряд и пишут .

Теорема единственности разложения функции в степенной ряд.

Теорема: Если удалось найти разложение функции в степенной ряд, то такое разложение единственно.

Доказательство:

Дано:

Доказать: , определяется единственным образом.

Доказательство: Воспользуемся свойством дифференцируемости равномерно сходящегося функционального ряда.

имеем

Из этих соотношений имеем

Вывод: Коэффициенты степенного ряда определяются по формулам , т.е. единственным образом.

Необходимое и достаточное условия разложения функции в ряд Тейлора.

Опр.: Если для некоторой функции построен степенной ряд , в котором коэффициенты определяются по формулам , то говорят, что функции поставлен в соответствие ряд Тейлора.

Опр. Если ряд Тейлора, построенный для функции сходится, и его сумма в некотором интервале сходимости совпадает с , то говорят, что функция разложена в ряд Тейлора, и вместо «» пишут «=».

Замечание: Ряд Тейлора может расходиться всюду за исключением точки , или сходится в некотором интервале к некоторой функции . В этом случае функция не разложена в ряд Тейлора и знак «» нельзя заменить на «=».

Теорема: Для того, чтобы функция была разложена в ряд Тейлора необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю.

Доказательство:

Необходимость:

Дано: разложена в ряд Тейлора

- сходится для

Доказать: , где - остаточный член формулы Тейлора.

Доказательство: Выпишем частичную сумму ряда Тейлора.

т.к. ряд Тейлора сходится к функции , то .

Запишем формулу Тейлора через :

Перейдем к пределу при :

- необходимость доказана.

Достаточность:

Дано:

Доказать: ( разложена в ряд Тейлора)

Доказательство: Выпишем формулу Тейлора через частичную сумму:

Перейдем к пределу при :

.