Связь комплексной формы ряда Фурье с комплексным гармоническим колебанием.

Теорема: Функция разложена в ряд Фурье. Запишем его комплексную форму.

Воспользуемся формулами связи вещественной и комплексной формы ряда Фурье, а также выражением коэффициентов вещественной формы ряда Фурье через амплитуды и фазы.

Тогда

Очевидно:

Введем вспомогательные обозначения:

Тогда с учетом введенных обозначений имеем

С учетом введенных обозначений, получили единую формулу:

, т.о. ряд Фурье в комплексной форме принимает вид

- комплексное гармоническое колебание. Ряд Фурье в комплексной форме представляет собой сумму комплексных гармоник с амплитудами , фазами , частотами .

Спектральные характеристики комплексной формы ряда Фурье.

Выделяют 7 основных спектральных характеристик комплексной формы ряда Фурье:

1) Частотные спектры

2) Линейчатые спектры

3) АЧ спектр (АЧХ)

4) ФЧ спектр (ФЧХ)

5)Спектральная плотность

6) Амплитудный спектр

7) Фазовый спектр

I. Частотные спектры.

Опр.: Частотными спектрами комплексной формы ряда Фурье называют числовые последовательности и ,

Замечание: Отрицательных частот в жизни не существует, они являются абстрактным математическим обобщением.

II. Линейчатые спектры.

Опр.: Линейчатыми спектрами комплексной формы ряда Фурье называют числовые последовательности

Линейчатые спектры комплексной формы ряда Фурье четно-симметричны.

III. Амплитудно-частотный спектр.

Опр.: Амплитудно-частотным спектром комплексной формы ряда Фурье называется числовая последовательность

Спектр четно-симметричен.

IV. ФЧХ.

Опр.: Фазово-частотным спектром комплексной формы ряда Фурье называется числовая последовательность .

ФЧХ нечетно-симметрична.

V. Спектральная плотность (функция).

Опр.: Спектральной плотностью комплексной формы ряда Фурье называется отношение комплексной амплитуды к приращению частоты , т.к.

Формула для нахождения спектральной плотности.

Если воспользоваться комплексной формой записи формул Эйлера-Фурье:

Замечание: График на плоскости построить невозможно, поскольку для ее изображения нужны три координатные оси, т.к. .

VI. Амплитудный спектр .

Опр.: Амплитудным спектром комплексной формы ряда Фурье называется модуль его спектральной плотности.

Формула для нахождения амплитудного спектра.

Спектр четно-симметричен и может находиться только в верхней полуплоскости.

VII. Фазовый спектр .

Опр.: Фазовым спектром комплексной формы ряда Фурье называется аргумент спектральной функции, взятый с обратным знаком, т.е.

Вычисление фазового спектра.

Спектр нечетно-симметричен и находится в полосе от до .

Интеграл Фурье и преобразование Фурье.

Если функция задана на всей числовой оси и не является периодической, но удовлетворяет на каждом конечном отрезке условиям Дирихле, то ее можно представить интегралом Фурье. Т.к. на отрезке функция удовлетворяет условиям Дирихле, то можно, продолжив ее периодически с периодом , представить рядом Фурье в комплексной форме.

Введем вспомогательное обозначение

С учетом введенного обозначения имеем:

Получили представление для функции через интеграл на отрезке . Перейдем к пределу при в последнем соотношении.

(1)

- представление непериодической функции, заданной на всей числовой оси интегралом Фурье.

(1) – интегральная формула Фурье. Интеграл, стоящий в правой части (1) называется интегралом Фурье.

Достаточные условия представления функции интегралом Фурье.

Теорема: Если функция удовлетворяет трем условиям:

1) задана на всей числовой оси

2) на любом конечном отрезке числовой оси функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

3) абсолютно-интегрируема на всей числовой оси, т.е.

тогда функция представима интегралом Фурье и при этом интеграл Фурье равен значению в каждой ее точке непрерывности, а в точке разрыва I-го рода интеграл Фурье равен

Вещественная форма интеграла Фурье.

Преобразуем (1) с учетом формулы

Воспользуемся свойством интеграла по симметричному промежутку от четной и нечетной функции.

- четная

- нечетная

(2)

- вещественная форма интеграла Фурье.

Прямое и обратное преобразования Фурье в комплексной форме.

Запишем соотношение (1) в виде

Введем вспомогательное обозначение

(3)

Тогда (4)

Опр.: Соотношения (3) и (4) называются парой преобразований Фурье в комплексной форме, причем соотношение (3) называется прямым преобразованием Фурье в комплексной форме, а соотношение (4) называется обратным преобразованием Фурье в комплексной форме.

Замечание: На практике прямое преобразование(3) вычисляется (с помощью методов интегрирования), а соотношение (4) просто записывается.

Интеграл Фурье в виде, аналогичном ряду Фурье.

Преобразуем (2) с помощью формулы тригонометрии:

(5) где

(6)

Соотношения (5) и (6) называют интегралом Фурье в вещественной форме, записанным в виде, аналогичном ряду Фурье, причем соотношение (6) называется прямым преобразованием Фурье в вещественной форме, а соотношение (5) – обратным преобразованием Фурье в вещественной форме.

Пара cos-преобразований Фурье для четной функции.

Пусть представлена интегралом Фурье и является четной, тогда соотношения (5) и (6) преобразуются к виду:

(7)

(8)

Соотношения (7) и (8) называют парой cos-преобразований Фурье, причем соотношение (8) называют прямым cos-преобразованием Фурье, а соотношение (7) – обратным cos-преобразованием Фурье.

Пара синус-преобразований Фурье для нечетной функции.

Поступая аналогично тому, как поступили в косинус-преобразовании Фурье, для нечетной функции имеем: соотношение (6) принимает вид:

Тогда, (9)

(10)

Соотношения (9) и (10) называются парой синус-преобразований Фурье.

(9) – обратное, (10) – прямое.

Замечание: Если функция задана на промежутке , то, продолжив ее соответственно четным или нечетным образом, можно представить эту функцию либо парой cos-, либо парой sin-преобразований Фурье.

Спектральные характеристики интеграла Фурье.

Выделяют 3 основные спектральные характеристики интеграла Фурье: спектральная плотность, амплитудный спектр, фазовый спектр.

Опр.№1: Спектральной плотностью интеграла Фурье называется функция .

Опр.№2: Амплитудным спектром интеграла Фурье называют модуль спектральной плотности

Опр.№3: Фазовым спектром интеграла Фурье называют аргумент спектральной плотности, взятый с противоположным знаком

.

Найти прямое и обратное преобразование Фурье в комплексной форме.

- прямое преобразование Фурье в комплексной форме.

- обратное преобразование Фурье в комплексной форме.

Прямое преобразование находится, обратное просто записывается.

- прямое преобразование Фурье в комплексной форме.

- обратное преобразование Фурье в комплексной форме.

Спектральные характеристики преобразования Фурье.

1) Спектральная плотность ,

2) Амплитудный спектр

3) Фазовый спектр

Найти прямое и обратное преобразование Фурье в комплексной форме.

и т.д.

Найти пара косинус и пара синус преобразований Фурье.

1) Пара косинус преобразований Фурье

- прямое косинус-преобразование Фурье.

- обратное косинус-преобразование Фурье.

Прямое косинус-преобразование находится, обратное записывается.

- прямое косинус-преобразование Фурье.

- обратное косинус-преобразование Фурье.

- прямое синус-преобразование Фурье.

- обратное синус-преобразование Фурье.

ТФКП.

Теория функций комплексного переменного.

Опр.: Последовательностью комплексных чисел называется упорядоченный ряд комплексных чисел, когда каждому номеру поставлено в соответствие свое комплексное число.

Понятие окрестности точки.

Опр.: Окрестностью точки называется множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию .

Геометрический смысл окрестности точки .

Замечание: Очевидно, что в комплексной плоскости представляет собой окрестность с центром в точке и радиуса .

Пример:

.

Понятие предела последовательности комплексных чисел.

Опр.: Число называется пределом последовательности комплексных чисел и обозначается , если

Т-ма: Для того, чтобы , сходилась к числу необходимо и достаточно, чтобы две последовательности действительных чисел , сходились соответственно , .

Вывод: Все теоремы, доказанные для последовательности действительных чисел, сохраняются и для последовательности комплексных чисел. В частности строгое неравенство переходит в нестрогое, нестрогое остается без изменения и т.д.

Понятие бесконечно удаленной точки.

Говорят, что сходится к бесконечно удаленной точке и пишут , если

.

Понятие расширенной комплексной плоскости.

Опр.: Комплексная плоскость с добавленным к ней несобственным элементом , называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается .

Геометрическая иллюстрация (сфера Римана, стереографическая проекция).

Между множеством точек сферы и комплексной плоскости можно установить взаимно-однозначное соответствие за исключением одной точки , которую называют полюсом и ей отвечает бесконечно удаленная точка.

Понятие комплексной функции действительного переменного.

Опр.: Функция называется комплексной функцией действительного переменного и определяет в комплексной плоскости некоторую ориентированную кривую.

Опр.: Производной комплексной функции действительного переменного называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к 0

Формула для нахождения производной от комплексной функции действительного переменного.

Понятие гладкой кривой.

Опр.: Кривая называется гладкой, если функция , при помощи которой кривая задана, удовлетворяет двум условиям:

1) непрерывно дифференцируема для любого (т.е. и - непрерывны для любого ).

2) (т.е. ).

Опр.: Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.

Понятие области на комплексной плоскости.

Опр.: Множество точек комплексной плоскости называются областью, если оно удовлетворяет двум условиям:

1) - открытое множество, т.е. содержит каждую свою точку с некоторой окрестностью.

2) - связное множество, т.е. любые две точки, лежащие в области, можно соединить кривой, целиком лежащей в этой области.

Понятие границы области.

Опр.: Точка является граничной точкой области , если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие области, так и точки, не принадлежащие области.

Опр.: Множество граничных точек области называется ее границей и обозначается .

Замечание: Граница области может быть задана с помощью функции .

Понятие односвязной и многосвязной области.

Опр.: Область называется односвязной, если любую замкнутую кривую, целиком лежащую в области, можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в этой области.

Опр.: Область называется n-связной, если ее граница распадается на n связных частей.

Понятие функции комплексного переменного.

Опр.: Функцией комплексного переменного называется некоторое правило, по которому каждому значению ставится в соответствие одно (в случае односвязной функции) или несколько (в случае многосвязной функции) значений , при этом область называется областью определения функции, а область - областью значения функции.

Замечание: Чтобы задать ФКП, достаточно задать две функции и двух действительных переменных.

Пример:

Обратно, если заданы две функции двух действительных переменных, они определяют некоторую функцию комплексного переменного.

Предел ФКП в точке.

Опр.: называется пределом ФКП в точке и обозначается , если .

Предел ФКП в точке по Гейне.

Опр.: Число называется пределом ФКП , если для любой сходящейся последовательности комплексных чисел , соответствующая ей последовательность комплексных чисел также сходится и ее предел .

Теорема о существовании предела ФКП.

Т-ма: Для того, чтобы ФКП имела предел , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы функций двух переменных и в точке ,, причем и .

Замечание: Из этой теоремы ясно, что все теоремы о пределах функции нескольких переменных сохраняются для функции комплексного переменного.

Понятие непрерывности ФКП в точке.

Дадим три определения непрерывности ФКП в точке: на языке пределов, кванторов и приращений.

Опр.№1: Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в точке .

Опр.№2: Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если

.

Опр.№3: Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции, т.е. , где

Опр.: Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Опр.: Производной ФКП в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю .

Опр.: Функция комплексного переменного называется дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде , где - бесконечно-малая функция в точке , и - const.

Опр.: Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества называется дифференцируемой на множестве функцией.

Теорема об эквивалентности понятий дифференцируемости и существования производной функции в точке.

Т-ма: Для того, чтобы ФКП была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела производную.

Необходимость:

Дано: - дифференцируема в точке .

Доказать: .

Доказательство: Воспользуемся определением дифференцируемости

(т.к. )

Достаточность:

Дано: .

Доказать: - дифференцируема в точке , т.е. .

Доказательство: Воспользуемся определением производной функции в точке

Введем вспомогательное обозначение

(т.к. - Б.М.Ф.)

Во вспомогательном обозначении проведем операцию умножения на

(т.к. - const)

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости ФКП в точке (условие Даламбера-Эйлера, Коши-Римана).

Т-ма: Для того, чтобы ФКП была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1) - дифференцируемы в точке

2)

Необходимость:

Дано: - дифференцируема в точке .

Доказать: 1) - дифференцируемы в точке

2) ,

Доказательство: Поскольку дано, что , то предел, определяющий эту производную существует, конечен и не зависит от способа стремления к нулю. Вычислим эту производную двумя способами и приравняем полученные значения.

а)

б)

- необходимость доказана

Достаточность:

Дано: 1) - дифференцируемы в точке

2) К.-Р.:

Доказать: дифференцируема в точке .

Доказательство: Поскольку функции дифференцируемы в точке , воспользуемся определением дифференцируемости функции двух переменных, т.е. их приращения представимы в виде

,

где - Б.М.Ф. в точке .

Найдем приращение ФКП.

дифференцируема в точке .

Замечание: при доказательстве теоремы были получены формулы для нахождения производной функции комплексного переменного, а именно:

.

Понятие аналитической функции в точке.

Функция комплексного переменного называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности.

Функция, аналитическая в каждой точке некоторой области называется аналитической в этой области.

Понятие гармонической функции двух переменных.

Опр.: Функция двух переменных называется гармонической в некоторой области , если она дважды непрерывно дифференцируема в этой области и удовлетворяет в ней уравнению Лапласа:

.

Понятие двух сопряженно гармонических функций.

Опр.: Две функции двух переменных и называются сопряженно-гармоническими функциями в области , если они являются гармоническими в этой области и удовлетворяют в каждой точке области условиям Коши-Римана:

Теорема о связи между аналитичностью и гармоничностью.

Т-ма: Для того, чтобы ФКП была аналитической в области необходимо и достаточно, чтобы ее вещественная и мнимая части и были сопряженно-гармоническими функциями.

Необходимость:

Дано: - аналитическая в области .

Доказать: - сопряженно-гармонические в области .

Доказательство: т.к. - аналитическая в области , то она дифференцируема в каждой точке этой области и в силу необходимости и достаточности условия дифференцируемости выполняются два условия:

1) - дифференцируемы в области

2) К.-Р.:

Найдем значение оператора Лапласа для этих функций.

, - теорема Шварца.

- сопряженно-гармонические функции.

Достаточность:

Дано: - сопряженно-гармонические

Доказать: - аналитическая в области .

Доказательство: Покажем, что .

Воспользуемся тем, что функции и - сопряженно-гармонические, тогда:

1) 2)

функции и дифференцируемы, и для них выполняются условия Коши-Римана в каждой точке, принадлежащей области . В силу необходимости и достаточности условия дифференцируемости функции в каждой точке области - аналитическая в области .

Следствие из необходимого и достаточного условия дифференцируемости функции в точке.

Т-ма: Для того, чтобы ФКП была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы ее вещественная и мнимая части удовлетворяли двум условиям:

1) - непрерывны в точке

2)

Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части.

Дано:

Доказательство:

Из теоремы о связи между аналитичностью и гармоничностью ясно, что данная задача будет иметь решение, если . Кроме того, искомая функция должна быть сопряженно-гармонической к , т.е.

Обозначим известные функции через . Имеем систему для определения функции :

Проинтегрируем по и подставим найденную в .

Выражение, стоящее в правой части соотношения для не зависит от переменной . Можно доказать, если производная по будет равна нулю.

Т.к. полученное выражение для не содержит переменной , можно найти , вычислив интеграл по переменной .

удалось найти функцию :

нашли .