Ряд Лорана.

Т-ма: Если ФКП однозначная аналитическая функция в кольце , то в этом кольце функция однозначно разложена в ряд Лорана , , где - любой замкнутый контур, лежащий внутри кольца аналитичности, ориентированный против часовой стрелки.

Доказательство:

аналитическая в кольце. Рассмотрим кольцо , лежащее внутри кольца аналитичности.

, тогда в силу теоремы функция будет аналитической внутри построенного кольца, включая границу. В построенном кольце проведем разрез , чтобы превратить его в односвязную область. Согласно интегральной формуле Коши для односвязной области, ограниченной и любой точкой из этой области имеем

для функции

внутри вспомогательного кольца имеет место представление:

Преобразуем интегралы и , входящие в представление функции .

Подынтегральная функция

Полученный ряд сходится абсолютно и равномерно внутри вспомогательного круга, т.к. мы можем подставить этот ряд под интеграл и поменять знак суммы и интеграла местами, т.к. равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать.

Вводя вспомогательное обозначение

Имеем

Преобразуем .

,

Сменим индекс суммирования в последней сумме

Подставим полученный равномерно сходящийся ряд в интеграл и поменяем и местами.

Подставим и в представление функции

Поскольку интеграл от аналитической функции не зависит от контура интегрирования можно вместо и взять любой контур, лежащий внутри кольца аналитичности и ориентированный против часовой стрелки для

Пример: Найти все разложения в ряд Лорана по степеням у функции:

Области разложения в ряд Лорана.

Особые точки:

Вывод:

Ответ: