Понятие интеграла от фкп.
Пусть
- кривая в комплексной плоскости, заданная
параметрически:
,
эта кривая удовлетворяет двум условиям:
1) Она кусочно-гладкая
2) Спрямляемая, т.е. имеет определенную длину.
В каждой
точке этой кривой определена ФКП
.
Введем
понятие интеграла от ФКП
по кривой
,
т.е.
.
Для этого проведем ряд вспомогательных построений.
Шаг №1.
Разобьем кривую
на
частичных дуг точками
Шаг №2. На
каждой из частичных дуг
выберем произвольную точку
и вычислим
в этих точках, т.е.
.
Шаг №3.
Составим
.
Указанная сумма зависит от способа
разбиения дуги
на частичные дуги и от выбора точек
.
Шаг №4.
Рассмотрим всевозможные разбиения дуги
на частичные дуги, такие, что
.
Это означает,
что разбиение дуги равномерно мелкое
и при этом
.
Опр.:
Интегралом от ФКП по дуге
называется предел интегральных сумм,
построенных в шаге №3, найденных при
условии шага №4.
Если
указанный предел существует и конечен,
и не зависит от способа разбиения дуги
на частичные дуги, и от выбора точки
,
то говорят, что
интегрируема по дуге
.
Вычисление интеграла от ФКП.
Интеграл от ФКП может быть вычислен тремя способами:
1) сведением к двум криволинейным интегралам второго рода;
2) сведением к определенному интегралу по параметру;
3) по формулам Ньютона-Лейбница в случае аналитичности функции.
Эти формулы имеют вид:
I. Сведение интеграла от ФКП к двум криволинейным интегралам второго рода.
Пусть
.
Воспользуемся определением интеграла
от функции комплексного переменного.
Поскольку интеграл от ФКП свелся к двум криволинейным интегралам второго рода, то все свойства криволинейного интеграла второго рода сохраняются и для интеграла от ФКП.
Свойства интеграла от ФКП.
Интеграл от ФКП зависит от направления
дуги интегрирования.
Интеграл по дуге
Если
,
где
- длина дуги
.
Доказательство:
Замечание:
Из доказательства ясно, что
- длина дуги
.
II. Сведение интеграла от ФКП к определенному интегралу по параметру.
Если в
формуле
вычислить криволинейные интегралы с
учетом параметрического задания кривой
,
то придем к двум определенным интегралам по параметру.
.
Интегральная теорема Коши для односвязной области.
Т-ма: Если
однозначная аналитическая в некоторой
односвязной области
функция, то интеграл от этой функции по
любимому замкнутому контуру, лежащему
внутри этой области, равен нулю.
.
Доказательство: Воспользуемся сведением интеграла от ФКП к двум криволинейным интегралам второго рода:
Для их вычисления воспользуемся формулой Грина:
Воспользуемся
тем, что функция
является аналитической в
для нее выполняются условия Коши-Римана:
.
Обобщение интегральной теоремы Коши для односвязной области.
Т-ма: Если
ФКП
однозначная, аналитическая в односвязной
области
и непрерывная на границе этой области,
то интеграл по границе этой области,
ориентированный против часовой стрелки,
равен нулю.
(без доказательства).
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Если ФКП
аналитическая в многосвязной области
,
ограниченной вне контуром
,
ориентированном против часовой стрелки
и изнутри контурами
,
ориентированными по часовой стрелке,
непрерывная на границе функция, то
интеграл по полной границе этой области
равен нулю, т.е.
Доказательство:
Воспользуемся
обобщением интегральной теоремы Коши
для односвязной области. Проведем
разрезы
и
,
,
превращающие нашу многосвязную область
в односвязную.
В силу обобщения интеграл по полной границе, построенной односвязной области равен нулю, т.е.
Учтем, что
Замечание: Интегральную теорему Коши для многосвязной области иногда записывают в виде
Независимость от пути интегрирования интеграла от аналитической в области функции.
Т-ма: Пусть
- аналитическая в односвязной области
функция, тогда интегралы по любым путям,
соединяющих две любые точки этой области,
целиком лежащих в ней, равны между собой,
т.е. интеграл не зависит от пути
интегрирования.
- как интеграл по замкнутому контуру,
целиком лежащему в области аналитичности
функции.
(теорема Коши для односвязной области)
Понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом для аналитической функции.
Опр.:
Определенным интегралом с переменным
верхним пределом для аналитической в
односвязной области
функции комплексного переменного
называется
интеграл вида:
,
где
- некоторая фиксированная точка из
области
,
а
- произвольная точка из области
.
- аналитическая в области
.
Замечание:
означает, что интеграл берется по любому
контуру, лежащему в области
,
т.к. интеграл от аналитической функции
не зависит от пути интегрирования.
Теорема об аналитичности определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Т-ма: Если
однозначная аналитическая в односвязной
области
функция,
то ее определенный интеграл с переменным
верхним пределом является аналитической
функцией в этой области.
Доказательство:
Выражения, стоящее под знаком криволинейных интегралов II рода, являются полными дифференциалами, т.к.
если
Действительно,
Выполняется т.к.
аналитическая
К.Р.
аналитическая.
Найдем
,
,
,
и проверим условия Коши-Римана. Поскольку
Эти функции
непрерывны для
,
т.к.
непрерывны
в силу аналитичности
.
непрерывные функции в силу аналитичности
функции
.
Вывод:
Условие Коши-Римана выполняется для
из области
функция
является
аналитической.
Опр.:
Первообразной для аналитической функции
в односвязной области
называется
аналитическая функция
в области
,
такая, что
.
Т-ма:
Определенный интеграл с переменным
верхним пределом является первообразной
для функции
.
Доказательство:
Ранее было доказано, что функция
является аналитической в области
.
Найдем
.
Теорема о структуре всех первообразных.
Т-ма: Если
ФКП
является аналитической в области
и
и
какие-либо две первообразные для этой
функции, то
.
Доказательство:
Введем в рассмотрение вспомогательную
функцию комплексного переменного
.
Найдем
.
Если
,
то
Известно,
что
аналитическая функция, тогда выполняется
условие Коши-Римана:
Имеем
Формула Ньютона-Лейбница для аналитической в односвязной области функции.
Т-ма: Если
функция
аналитическая в односвязной области
и
-
какая-либо первообразная для этой
функции, то для
имеет место формула Ньютона-Лейбница.
Доказательство:
Так как
- первообразная (из дано) и
-
определенный интеграл с переменным
верхним пределом также первообразная,
то в силу теоремы о структуре всех
первообразных имеем
Интегральная формула Коши и ее обобщения.
Т-ма: Если
однозначная аналитическая функция в
односвязной области
и непрерывная на границе этой области,
то для нее справедлива интегральная
формула Коши.
Доказательство:
Пусть
,
введем вспомогательную функцию:
- аналитическая в области
(т.к.
- аналитическая для
,
- аналитическая для
)
- аналитическая в области
,
непрерывная на границе. В силу обобщения
интегральной теоремы Коши для односвязной
области
Пусть
.
- аналитическая в области
за
исключением точки
.
Вырежем эту точку из области
с помощью окружности
,
лежащей в этой области.
Рассмотрим
область
,
которая получена из области
выбрасыванием круга
.
Это многосвязная область, в которой
функция
является аналитической, тогда в силу
интегральной теоремы Коши для многосвязной
области имеем
Чтобы
вычислить интеграл для области
надо перейти к пределу при
,
тогда
Обобщение интегральной формулы Коши.
Т-ма: Если
однозначная аналитическая функция
комплексного переменного в односвязной
области
и непрерывная на ее границе, имеет место
обобщение интегральной формулы Коши
Доказательство следует из интегральной формулы Коши путем ее дифференцирования.
Комплексные числовые ряды.
Опр.: Комплексным числовым рядом называется аналитическое выражение вида
Опр.: Частичной суммой комплексного числового ряда называется сумма его первых n-слагаемых
Опр.: Комплексный числовой ряд называется сходящимся, если существует и конечен предел последовательности его частичных сумм.
Теорема о связи сходимости комплексного числового ряда и действительного числового ряда.
Т-ма: Для
того, чтобы комплексный числовой ряд
сходился, необходимо и достаточно, чтобы
сходились действительные числовые ряды
и
.
(Доказательство очевидно).
Вывод: Все теоремы, сформулированные для действительного числового ряда, переходят в аналогичной формулировке для комплексного числового ряда.
Опр.:
Комплексный числовой ряд
называется абсолютно-сходящимся, если
сходится ряд, состоящий из модулей его
членов.
Опр.: Рядом ФКП называется аналитическое выражение вида
,
где
- ФКП, определенная в некоторой общей
области
Понятие
поточечной сходимости, равномерной
сходимости и критерий Вейерштрасса
полностью аналогично как для функционального
ряда действительных членов, только
нужно заменить на
.
Опр.: Степенным рядом комплексного переменного называется ряд вида
его радиусом сходимости называется
Аналогично вводятся теорема Абеля и ряд Тейлора:
