XII. Надежность деталей машин. Устойчивость стержней.

Устойчивость– способность детали сохранять исходную геометрическую форму.Стержнемназывают удлиненную деталь.

Наиболее опасным нагружением для стержня является продольный изгиб – изгиб под действием осевой продольной силы F(Рис.XII. 1).

Рис. XII. 1

До достижения некоторой величины F_критсилаFсжимает стержень. При ослаблении нагрузки стержень вернется к исходной геометрической форме. С последующим увеличением силы наблюдается изгиб стержня, при этом остаточные деформации не позволяют вернуться к первоначальной форме.

Изгиб стержня осуществляется в сторону минимального момента I_minинерции сечения стержня, т.е. каждое из его поперечных сечений поворачивается вокруг той оси, относительно которой момент инерции минимален (Рис.XII. 2, а):

а) б)

Рис. XII. 2

,

,

,

следовательно:

.

Тогда, используя уравнение изогнутой балки:

,

можно описать изгиб стержня (Рис. XII. 2, б):

, (XII. 1)

где у– плечо действия силыF.

Обозначим:

,

тогда из уравнения (XII. 1) получим дифференциальное уравнение второго порядка:

общее решение которого:

. (XII. 2)

Наложение граничащих условий позволяет определить величины АиВуравнения (XII. 2). Еслиz = 0, тогдаy = 0 иsin(kz) = 0, следовательноВ = 0. Значит:

. (XII. 3)

Аналогично, при z, равномl, частным решением дифференциального уравнения (XII. 2) является уравнение (XII. 3). Однако, синус – функция периодическая, т.е.:

,

где n= 0, 1, 2, 3, …

При n> 1 стержень изгибается по кривой, включающейnполуволн (Рис.XII. 3).

Рис. XII. 3

Однако, практический анализ показывает, что эти решения не представляют интереса, т.к. описывают неработоспособные состояния вала (стержня). Наибольший интерес представляет решение:

. (XII. 4)

Исходя из уравнения (XII. 4) получим:

,

тогда критическое значение сжимающей силы F_крдля рассчитываемого стержня определяется по формуле:

. (XII. 5)

Рис. XII. 4

На практике величина прогиба узависит от способа заделки стержня, для чего в формулу (XII. 5) вводится приведенная длина стержняl_прив:

,

где μ – коэффициент приведения длины (Рис. XII. 4),

тогда:

.

Величина критического напряжения σ_крисходя из формулы (XII. 5):

.

Отношение I_min/Aназываетсярадиусом инерции I, тогда:

, (XII. 6)

где соотношение μl/Iявляетсягибкостьюλстержня,

,

тогда формулу (XII. 6) можно переписать:

. (XII. 7)

Выражение (XII. 7) называетсяформулой Эйлера.

Для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера справедлива при гибкостях λ > 100, а также при λ > 80 – для чугуна. Обобщение этих данных сводится к построению диаграммы (Рис. XII. 5), связывающей критическое напряжениеσ_крс гибкостью λ вала (или стержня).

Рис. XII. 5

Стержни, для которых справедлива формула Эйлера, называются особо гибкими(зонаIII). Для стальных стержней с гибкостью λ < 100 формула Эйлера несправедлива. Для расчета таких стержней используется полученная в результате обработки опытных данныхформула Ясинского:

,

где аиb– величины, характеризующие качество материала, значения которых приводятся в технических справочниках. Для стали средней гибкости (зонаII) формула Ясинского приводится к виду:

.

Для стержней, у которых критическое напряжение превышает предел текучести (гибкиестержни), критическое напряжениеσ_крприравнивают пределу текучестиσ_т(зонаI), т.е. зонаIдиаграммы определяет состояние текучести материала, потерявшего свою работоспособность. Отсюда следует, что жесткие стержни при продольном нагружении следует рассчитывать на прочность. Гибкие валы рассчитываются на устойчивость, затем в случае необходимости – на прочность. Сам расчет на прочность ведется по предельному напряжению устойчивости [σ_у]:

,

где [n_у] – коэффициент запаса устойчивости продольно нагруженного стержня.

Как правило:

,

где [σ] – предел прочности вала;

φ– величина, зависящая от гибкости λ вала (стержня) (Табл.XII. 1).

λ	10	40	60	100	140
φ	1	0,9	0,8	0,65	0,3

Табл. XII. 1

Практическое значение этих расчетов заключается в определении компоновки машины, например, шнекового транспортера (Рис.XII. 6).

Рис. XII. 6

Основной задачей при конструировании машины является определение положения упорного подшипника. В случае, если подшипник поставить в начале вала, то под действием реактивной силы Rвал при вращении будет сжиматься, что может привести к изгибу вала. Если шнек изогнется, то коснется корпуса транспортера. Поэтому рациональнее опорно-упорный подшипник размещать в конце трассы перемещения, тогда вал подвергается растяжению, а не изгибу.