26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Определение. Случайные величиныи, для которых корреляционный момент, называютсянекоррелированными.

Учитывая, что

,

получаем: случайные величины иявляются некоррелированными тогда и только тогда, когда.

Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости случайных величин всегдаследует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что, то они являются зависимыми.

Пример.

Равномерное распределение в круге .

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат вектора :

и установлено, что случайные величины иявляются зависимыми, так как.

Найдем корреляционный момент СВи.

в силу нечетности подинтегральной функции и симметричности относительно нуля пределов интегрирования.

По аналогичным соображениям Найдем.

также в силу нечетности подинтегральной функции.

Таким образом, и, следовательно, случайные величиныиявляются зависимыми, но некоррелированными.

Понятие некоррелированности случайных величин играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.

Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).

Для любых действительных чисел и любых случайных величини, имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если и случайные величиныиявляются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии:

.

▲ Доказательство теоремы основано только на свойствах математического ожидания и определении корреляционного момента :

.■.

По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа случайных величин следующим образом.

Для любых действительных чисел и случайных величин, имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если все , а случайные величиныявляются попарно некоррелированными (), то имеет место свойство аддитивности дисперсии:

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Значение корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величини. Безразмерным аналогомявляетсякоэффициент корреляции, определяемый формулой:

,

где - средние квадратические отклонения случайных величини.

Свойства коэффициента корреляции.

1. , если случайные величиныиявляются независимыми.

(Свойство очевидно, так как в этом случае ).

2. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: .

▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии

.

Положим . Тогда

,

откуда

.

Следовательно,

, и поэтому.■.

3. тогда и только тогда, когда случайные величиныисвязаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числаАиВтакие, что.

▲ Необходимость. Предположим, что. Тогдаи из доказательства свойства 2 следует, чтопри. В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что, откудаи значит.

Достаточность. Пусть. Тогда, а корреляционный момент случайных величиниравен

.

Поэтому ■.

Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значениядля сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.

Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю , тем плотнее значения случайного векторарасполагаются вдоль некоторой прямой.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\